■パラメータ解? (その31)

 3角数かつ5角数かつ6角数である最小の数

  n=p(p-1)/2=(3q^2-q)/2=2r^2-r

は,40755だそうです.

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[Q]5角数であり6角数であるものは無限に存在するか?

  (3y^2-y)/2=(4x^2-2x)/2,すなわち,

  3(y-1/6)^2-1/12=4(x-1/4)^2-1/4

  3(12y-2)^2-12=4(12x-3)^2-36

  12(6y-1)^2-36(4x-1)^2=-24

  (6y-1)^2-3(4x-1)^2=-2

をみたす自然数の組(x,y)が無限にあることいえばよい.

 しかし,これではQ(√3)の単数

 自然数an,bnを(2+√3)^n=an+bn√3によって定義すると,

  an^2-3bn^2=(an+bn√3)(an-bn√3)

         =(2+√3)^n(2-√3)^n=1

よって,nの値に無関係となります.・・・は使えないことになる.

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