３角数かつ５角数かつ６角数である最小の数

　　ｎ＝ｐ（ｐ－１）／２＝（３ｑ^2－ｑ）／２＝２ｒ^2－ｒ

は，４０７５５だそうです．

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［Ｑ］５角数であり６角数であるものは無限に存在するか？

　　（３ｙ^2－ｙ）／２＝（４ｘ^2－２ｘ）／２，すなわち，

　　３（ｙ－１／６）^2－１／１２＝４（ｘ－１／４）^2－１／４

　　３（１２ｙ－２）^2－１２＝４（１２ｘ－３）^2－３６

　　１２（６ｙ－１）^2－３６（４ｘ－１）^2＝－２４

　　（６ｙ－１）^2－３（４ｘ－１）^2＝－２

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　しかし，これではＱ（√３）の単数

　自然数ａn，ｂnを（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３によって定義すると，

　　ａn^2－３ｂn^2＝（ａn＋ｂn√３）（ａn－ｂn√３）

　　　　　　　　　＝（２＋√３）^n（２－√３）^n＝１

よって，ｎの値に無関係となります．・・・は使えないことになる．

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