実２次体の基本単数は一意に決まるのに対して，虚２次体では

　　ａ^2＋ｍｂ^2＝±１　→　（ａ，ｂ）＝（±１，０）

ですから，単数基準自身が消えてしまいます．

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【１】虚２次体Ｑ（√ｄ）の単数

　ｄ＜０のとき，

　　ｄ=−１　→　４個の単数

　　ｄ=−３　→　６個の単数

なのですが，

　　ｄ≠−１，−３　→　２個の単数｛±１｝

となります．

　すなわち，Ｑ（√ｄ）の場合，

(1)ｄ＞０ならば｛±ε^n｝（無限群）

(2)ｄ＜０のとき

　α)ｄ=−１ならば｛±１，±ｉ｝

　b)ｄ=−３ならば｛±１，±ρ，±ρ^2｝

　c)ｄ≠−１，−３ならば｛±１｝

（証明）

(1)ｄ＞０ならばα^n=１なるαは±１しかない．

(2)ｄ＜０のとき

　　α^2−（α＋α~）α＋αα~=０

という関係を満足し，｜α｜=１だから，ｘ^2＋ｂｘ＋１=０（ｂは整数）の根

　　α=（−ｂ＋√（ｂ^2−４））／２

になる．

　ｂ^2=４はα=±１を与えるからｂ^2≠４とする．また，ｂ^2−４=ｃ^2と平方数になる場合は（ｂ＋ｃ）（ｂ−ｃ）=４より，

　　ｂ＋ｃ=４，ｂ−ｃ=１

これは明らかに不可能．したがって，ｄ＜０よりｂ^2−４＜０でなければならない．

　よって，ｂ=０またはｂ=１またはｂ=−１の可能性がある．

　　ｂ=０→｛±ｉ｝

　　ｂ=１→｛±ρ｝

　　ｂ=−１→｛±ρ^2｝

　なお，円分体

　　Ｑ（ζ），ζ=ｅｘｐ(2πi/d)

の単数は

　　｛±１，±ζ，±ζ^2，・・・，±ζ^(d-1)｝

の２ｄ個の元からなります．

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