【１】実２次体の基本単数

　Ｑ（√ｍ）を２次体とするとき，ａ＋ｂ√ｍの共役をａ−ｂ√ｍで表します（ｍ＜０ならば通常の複素共役である）．このとき，その標準底は

　　ω＝√ｍ　　　　　　　　　ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）

　　ω＝（１＋√ｍ）／２　　　ｍ＝１（ｍｏｄ４）

で与えられます．

　そして，単位元「１」の約数を単数といいます．ｍ＞０のとき，単数群は

　　｛±１｝×Ｃ（Ｃは乗法的巡回群）

によって与えられます．また，εをε＞１なる最小の単数とするとき，

　　Ｃ＝｛±ε^n｝

と表すことができ，εをＱ（√ｍ）の基本単数といいます．

　このようなεのとり方は４通りあるのですが，その中でε＞１なるものは１通りですから，実２次体の基本単数は一意に定まります．Ｑ（√ｍ）を実２次体とすると，

［ａ］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　基本単数を

　　ε＝ａ＋ｂ√ｍ

とすると

　　ε~＝ａ−ｂ√ｍ

εが単数←→εε~＝ａ^2−ｍｂ^2＝±１

また，

　　ε^n＝ａn＋ｂn√ｍ

と書くと

　　ε^(n+1)＝ε・ε^n＝（ａ＋ｂ√ｍ）（ａn＋ｂn√ｍ）

　　　　　　＝ａａn＋ｂｂnｍ＋（ａｂn＋ｂａn）√ｍ

　これより

　　ａn+1＝ａａn＋ｂｂnｍ

　　ｂn+1＝ａｂn＋ｂａn

　このことから０＜ａ1＜ａ2＜・・・，０＜ｂ1＜ｂ2＜・・・となるのですが，より，ａ，ｂはペル方程式：

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±１

の解の中で（ａ，ｂ）が最小なものとして与えられます．ペル方程式の自明な解（ａ＝±１，ｂ＝０）には単数±１が，自明でない解のなかで絶対値｜ａ｜または｜ｂ｜が最小なものには基本単数が対応するというわけです．

　Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２

　　ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３

　　ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６

　　ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７

［ｂ］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　基本単数を

　　ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２　　　ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）

と書けば

　　ａ^2−ｍｂ^2＝±４

となること以外は前と同様です．

　Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

　　ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２

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