Ｑ（√−ｄ）の部分集合Ｚ（√−ｄ）は

　　Ｚ（√−ｄ）＝｛ａ＋ｂ√−ｄ｜ａ，ｂは整数｝

で定義される．Ｚ（√−ｄ）は複素平面内で幅１×高さ√ｄの直交格子を形成する．

　したがって，Ｚ（√−ｄ）整数の体系内で，除法

　　α＝β・γ＋δ，｜δ｜＜｜β｜

は可能かというユークリッド整域の問題がある．

　β^-1αに最も近いＺ（√−ｄ）整数γが１未満にあるためには，

　　ｄ＝１のとき，√２／２＜１（ユークリッド整域）ガウス整数環

　　ｄ＝２のとき，√３／２＜１（ユークリッド整域）

　　ｄ≧３のときユークリッド整域でないことが幾何学的に証明されたことになります．

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　Ｚ（√−３）はユークリッド整域ではないが，Ｚ（（−１＋√−ｄ）／２）はどうだろうか？　

　これは複素平面内で斜交格子を形成する．その菱形の４頂点は（０，√−ｄ，（１＋√−ｄ）／２，（−１＋√−ｄ）／２）

　β^-1αに最も近いＺ（√−ｄ）整数γが１未満にあるためには，

　　ｄ＝３のとき，（ユークリッド整域）アイゼンシュタイン整数環（正三角形格子）

　　ｄ＝７のとき，（ユークリッド整域）

　　ｄ＝１１のとき，（ユークリッド整域）

　ｄ＝１９，４３，６７，１６３のとき，ユークリッド整域ではないが，単項イデアル整域である．

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［１］３ｎ＋１型素数はａ^2−ａｂ＋ｂ^2の形に表されますが，３ｎ＋２型素数は表されません．

［２］７ｎ＋１型，７ｎ＋２型，７ｎ＋４型素数はａ^2−ａｂ＋２ｂ^2の形に表されますが，７ｎ＋３型，７ｎ＋５型，７ｎ＋６型素数は表されません．

［３］１１ｎ＋１，＋３，＋４，＋５，＋９型素数は

ａ^2−ａｂ＋３ｂ^2の形に表されますが，１１ｎ＋２，＋６＋，＋７，＋８，＋１０型型素数は表されません．

　この応用として

［４］ｙ^2＝ｘ^3−１１を満たす整数解は（ｘ，ｙ）＝（３，±４），（１５，±５８）だけである

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