【１】ＡＢＣ定理（メーソン・ストーサーズ定理）

　　Ａ＝Ｐ1^e1Ｐ2^e2・・・Ｐr^eｒのとき，相異なる素因子すべての積を

　　　ｒａｄＡ＝Ｐ1Ｐ2・・・Ｐr

と定義する．

　どの２つも互いに素ばＡ，Ｂ，Ｃが，Ａ＋Ｂ＝Ｃを満たすとき

　　ｍａｘ（ｄｅｇＡ，ｄｅｇＢ，ｄｅｇＣ）＜ｄｅｇ（ｒａｄＡＢＣ）

が成り立つ．

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【２】ビール予想（タイデマン・ザギエ予想）

　　ｘ^p＋ｙ^q＝ｚ^r

たとえば，１^n＋２^3＝３^2（カタラン），２^5＋７^2＝３^4，７^3＋１３^2＝２^9，２^7＋１７^3＋７１^2，３^5＋１１^4＝１２２^2，１７^7＋７６２７１^3＝２１０６３９２８^2，１４１４^3＋２２１３４５９^2＝６５^7，９２６２^3＋１５３１２２８３^2＝１１３^7，１３^8＋９６２２２^3＝３００４２９０７^2，３３^8＋１５４９０３４^2＝１５６１３^3などの指数ｐ，ｑ，ｒのどれかは２である．

　　ｘ，ｙ，ｚのどの２つも互いに素，ｐ，ｑ，ｒｈａ３以上ならば，ｘ^p＋ｙ^q＝ｚ^rを満たすものは存在しない

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【３】ａｂｃ予想

　　ａ＝ｐ1^e1ｐ2^e2・・・ｐr^eｒのとき，相異なる素因数すべての積を

　　　ｒａｄａ＝ｐ1ｐ2・・・ｐr

と定義する．たとえば，

　　ｒａｄ（１９８００）＝ｒａｄ（２^3３^2５^2１１）＝２・３・５・１１

　しかし，ＡＢＣ定理の類似：どの２つも互いに素ばａ，ｂ，ｃが，ａ＋ｂ＝ｃを満たすとき

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）＜ｒａｄ（ａｂｃ）

は成り立たない．たとえば，反例（カタラン）

　（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，８，９）

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）＝９

　　ｒａｄ（ａｂｃ）＝６

　そこで，条件を緩めた

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）＜（ｒａｄ（ａｂｃ））^Ｎ

なる整数（＞１）が存在する

には反例も証明も知られていない．もし，ａｂｃ予想が成り立つならば，ｎ＞３Ｎに対するフェルマーの定理

　　ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n

も成り立つ．

　また，望月新一先生解決したと述べているのは，これを精密化した

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）＜（ｒａｄ（ａｂｃ））^κ

は有限集合であるという，エステルレ・マッサー予想である．κ＝１は無限集合であり，κ＝１．５は１３，κ＝１．６は３つ，κ＝２はひとつも知られていない．

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