［１］ａが偶数ならａ^2は４の倍数，ａが奇数ならａ^2は８Ｎ＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝４ｎ（ｎ＋１）＋１

［２］ａ，ｂが奇数ならａ^4＋ｂ^4は１６Ｎ＋２

　　ａ^2＝８ｘ＋１，ｂ^2＝８ｙ＋１

　　ａ^4＋ｂ^4＝（８ｘ＋１）^2＋（８ｙ＋１）＝６４（ｘ^2＋ｙ2）＋１６（ｘ＋ｙ）＋２＝１６Ｎ＋２

［３］ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4をみたす整数（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しない

　　［２］を使うと，このことを証明することができるが割愛．

［４］ｘ^2＋ｙ^2＝３ｚ^2をみたす整数（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しない

　（証）ｘ，ｙのどちらも奇数が，一方のみが奇数のとき

　　ｘ^2＋ｙ^2＝１，２　　（ｍｏｄ４）

しかし，３ｚ^2＝０，３　　（ｍｏｄ４）

　（別証）ａが３と互いに素→ａ＝１，２　　（ｍｏｄ３）→ａ^2＝１　　（ｍｏｄ３）

　　ｘ，ｙのどちらも３と互いに素→ｘ^2＋ｙ^2＝２　　（ｍｏｄ３）

　　一方のみが３と互いに素→ｘ^2＋ｙ^2＝１　　（ｍｏｄ３）

しかし，３ｚ^2＝０　　（ｍｏｄ３）

［５］ｘ^2＋ｙ^2＝７ｚ^2をみたす整数（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しない

［６］２ｘ^2＋３ｙ^2＝ｚ^2をみたす整数（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しない

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［まとめ］互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れません．

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．

　４ｎ＋３の数はａ^2＋ｂ^2の形にならないことも簡単に示すことができます．

　　ａ＝４ｋ　　　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋１　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋２　→　ａ^2＝０　　（ｍｏｄ　４）

　　ａ＝４ｋ＋３　→　ａ^2＝１　　（ｍｏｄ　４）

したがって，ａ^2＋ｂ^2を４で割ったときの余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかならないので，この主張が示されました．

　ｐを素数として，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）またはｐ＝２

であることは有名です．

　それに較べてあまり知られていないのですが，ｐ＝ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2を満たす整数ｘ，ｙが存在するための必要十分条件は

　　ｐ＝１（ｍｏｄ３）またはｐ＝３

が成り立つことです．

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