Ｆn＝２^(2^n)＋１

をフェルマー数をいいます．

　　Ｆ0＝３（素数），Ｆ1＝５（素数），Ｆ2＝１７素数），Ｆ3＝２５７（素数），Ｆ4＝６５５３７（素数），Ｆ5＝４２９４９６７２９７（非素数）

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【１】フェルマー数の素数性判定

　命題：ｐがフェルマー数の約数ならば

　　ｐ＝１　　（ｍｏｄ２^n+1）

であるを用いることにする．

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［１］Ｆ4＝６５５３７　　　　（素数）

　ｐ≦√６５５３７＝２５６．０・・・までの素数がＦ4の素因数でないことを示す．命題よりｐ＝１　（ｍｏｄ２^5）は奇数であることを考慮すると，ｐ＝３２ｎ＋１型と書けるので，

　　ｐ＝３３，６５，９７，１２９，１６１，１９３，２２５

が候補となる．３３，６５，１２９，１６１，２２５は素数でなく，９７，１９３は６５５３７の約数でない．

［２］Ｆ5＝４２９４９６７２９７（非素数）

　ｐ≦√４２９４９６７２９７＝６５５３６．０・・・4

素因数となりうるのは ｐ＝６４ｎ＋１型と書ける．素数であるのは

　　ｐ＝１９３，２５７，４４９，５７７，６４１，７６９

であるが，このうち，６４１がＦ5の約数になっている．

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［まとめ］Ｆn ＝２^2^n＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．Ｆ0 ＝３，Ｆ1 ＝５，Ｆ2 ＝１７，Ｆ3 ＝２５７，Ｆ4 ＝６５５３７２５７は素数であることがわかります．フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．

　　Ｆ5 ＝２^2^5＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

　この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦn が合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ２^n+1 ＋１であることを知っていて，Ｆ5 の中の因数６４１＝１０・２^6 ＋１を見つけたのです．２０１５年現在でも，ｎ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．はたして本当に存在するのでしょうか？

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