［Ｑ］４個の頂点（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）をもつ四角形が半径１の球に内接しているとき，Ｑ＝Σ(2,v)｜ＡＰj｜^2＝Σ(1,v)｜ＡＰj｜^2の値を求めよ．

［Ａ］内積をつかえば

　　Ｑ＝（Ａ−Ａ）・（Ａ−Ａ）＋（Ｂ−Ａ）・（Ｂ−Ａ）＋（Ｃ−Ａ）・（Ｃ−Ａ）＋（Ｄ−Ａ）・（Ｄ−Ａ）

　ベクトル解析では原点はどこでも好きなところに選ぶことができるから，（Ａを原点とするのではなく）Ｏに原点をおくと，

　　（Ａ−Ｏ）・（Ａ−Ｏ）＝Ａ・Ａ−２Ａ・Ｏ＋Ｏ・Ｏ

　　Ａ・Ａ＝｜Ａ｜^2，Ｏ・Ｏ＝｜Ｏ｜^2

よって

　　Ｑ＝｜Ａ｜^2＋｜Ｂ｜^2＋｜Ｃ｜^2＋｜Ｄ｜^2＋４｜Ｏ｜^2−２Ｏ・（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）

が得られる．

　四角形の重心はＧにあるから，ＯをＧに移すとその対称性より，

　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝０，｜Ｇ｜^2＝０，Ｑ＝｜Ａ｜^2＋｜Ｂ｜^2＋｜Ｃ｜^2＋｜Ｄ｜^2^2

すべての辺と対角線の長さの平方和ＳＳは，すべての頂点において同じ線分が２回ずつ数えられていることから

　　ＳＳ＝４｛｜Ａ｜^2＋｜Ｂ｜^2＋｜Ｃ｜^2＋｜Ｄ｜^2｝

　　ＳＳ＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＋ｄ1^2＋ｄ2^2

単位円に内接しているとき，｜Ａ｜^2＝｜Ｂ｜^2＝｜Ｃ｜^2＝｜Ｄ｜^2＝１より，

　　１６＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＋ｄ1^2＋ｄ2^2

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［まとめ］重心は中点連結線の交点なので，対角線の交点とは無関係である．

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