三角形の３つの中線は一点で交わります．この交点が三角形の重心です．原点Ｏに対する三角形ＡＢＣの３頂点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルをそれぞれａ，ｂ，ｃとすれば，重心の位置ベクトルは（ａ＋ｂ＋ｃ）／３となります．三角形の形をした均一な板の重心は３つの中線の交点，すなわち重心にあります．この点（一様な三角形の重心）は３つの頂点の重心（ａ＋ｂ＋ｃ）／３，すなわち三角形の頂点におかれた３つの等しい質量の中心（物理的重心）に一致します．

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【１】四角形の重心は何処？

　一方，四面体ＡＢＣＤの３組の相対する辺の中点を結ぶ直線は１点で交わり，この交点の位置ベクトルは（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／４となります．

　三角形と同様に，一様な四面体の重心はその４つの頂点の重心（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／４と一致します．一様な棒の重心は両端の間の距離を１：１に，三角形の重心は中線を２：１に，四面体の重心は頂点と向かいあう面の重心との距離を３：１に内分します．すなわち，四面体の重心は１つの面の重心から対頂点に引いた直線の１／４の点にあります．４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく同様に類推されます．三角形の重心の性質は四面体に遺伝するのです．

　ところが，四角形ＡＢＣＤの重心Ｇにはうまい性質がありません．三角形からの類推で，四角形の重心は（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／４となるような気もします．しかし，これは４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに等しい質量がある場合の重心であって，密度一様な板の場合には当てはまりません．

　多角形の各頂点に同じ重さのおもりをつけたときの釣り合いの位置を「頂点の重心」と呼ぶことにすると，任意の四角形の４辺の中点は平行四辺形の頂点になりますから，ＡＢの中点とＣＤの中点とを結ぶ直線とＡＤの中点とＢＣの中点を結ぶ直線との交点は四角形の頂点の重心（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／４に当たります．この点は２対角線の中点を結ぶ線分を１：１に内分します．ここで，ｄ→ｃすなわち三角形の１つの頂点の付近をちょっと切り取った限りなく三角形に近い四角形を考えると

　　（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／４→（ａ＋ｂ＋２ｃ）／４

ですから，（ａ＋ｂ＋ｃ）／３には一致せず，（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／４は重心ではないことがわかります．三角形では頂点の重心は普通の意味の重心（ａ＋ｂ＋ｃ）／３に一致しますが，四角形ではそうではないのです．

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