２本の対角線の長さが与えられた四角形の面積は

　　Ｓ＝１／２・ｄ1ｄ2ｓｉｎφ

であるから，面積が最大となるのは対角線の交角がπ／２のときである．

　この条件で４辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄの四角形をうまく構成することを考える．

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　　ａ^2＝ｄ11^2＋ｄ22^2

　　ｂ^2＝ｄ11^2＋ｄ21^2

　　ｃ^2＝ｄ12^2＋ｄ21^2

　　ｄ^2＝ｄ12^2＋ｄ22^2

　　ｄ1＝ｄ11＋ｄ12，ｄ2＝ｄ21＋ｄ22

となるｄ11，ｄ12，ｄ21，ｄ22の解があるかどうかという問題に帰着される．

　さらに，直角に限らない場合は

　　ａ^2＝ｄ11^2＋ｄ22^2−２ｄ11ｄ22ｃｏｓφ

　　ｂ^2＝ｄ11^2＋ｄ21^2＋２ｄ11ｄ21ｃｏｓφ

　　ｃ^2＝ｄ12^2＋ｄ21^2−２ｄ12ｄ21ｃｏｓφ

　　ｄ^2＝ｄ12^2＋ｄ22^2＋２ｄ12ｄ22ｃｏｓφ

　　ｄ1＝ｄ11＋ｄ12，ｄ2＝ｄ21＋ｄ22

　この問題はすべての辺と対角線の長さの２乗和の問題であって，単位円に内接する正ｎ角形ではｎ^2隣ることはよく知られている．

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．すべての辺（ｎ本）と対角線（ｎ（ｎ−３）／２本），合計ｎ（ｎ−１）／２本の長さの平方和（sum of squares）を求めよ．

［ヒント］ｎ＝４のとき，辺の長さ√２（４本）と対角線の長さ２（２本）である→平方和ＳＳ＝１６．ｎ＝６のとき，辺の長さ１（６本）と対角線の長さ√３（６本）と２（３本）である→平方和ＳＳ＝３６．

　ｎ＝３のとき，辺の長さ√３（３本）→平方和ＳＳ＝９．ｎ＝２のときは，直径の長さ２（１本）であるから，平方和ＳＳ＝４．

［Ａ］辺も含めてすべての対角線の長さの平方を合計する場合，ｎ個の頂点をもつのでｎ×ＳＳといきたいところであるが，ｎが偶数のときは直径を重複して数え上げるので，その分を差し引くと

　　ｎ（ｎ＋２）−２ｎ＝ｎ^2

［１］ｎが奇数のとき，ＳＳ＝ｎ^2

［２］ｎが偶数のとき，ＳＳ＝ｎ^2

　ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生じない．すなわち，ｎが偶数か奇数かのケースにわける必要はなく，しかも，コラム「正多角形の対角線の交点数」に掲げた交点数公式ほど荘厳でいかめしいものでもない．この美とエレガンス（気品）を鑑賞していただけたであろうか．

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