１６Ｓ^2＋８ａｂｃｄｃｏｓ２θ＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2－２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）

θ＝（β＋δ）／２，π－θ＝（α＋γ）／２

四角形の面積を求めるには４辺の長さとβ＋δあるいはα＋γが必要になる．

４（ｄ1ｄ2）^2ｓｉｎ^2φ＋８ａｂｃｄｃｏｓ２θ＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2－２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）

対角線の交角を求めるためには，対角線の長さは必要になるが，ｄ1は（ａ，ｂ，α）か（ｃ，ｄ，γ），ｄ2は（ｂ，ｃ，β）か（ｄ，ａ，δ）が必要になる．

　結局，

［１］対角線の交角を求めるには，４辺の長さと４角の大きさが必要になる

［２］交角が既知の場合，対角線の長さの積を知るためには，面積がわかればよいというわけである．

　遣り残した問題は，プトレマイオスの定理（トレミーの定理）との関係である．円に内接するとき，ｃｏｓ２θ＝－１より，４辺の長さが与えられた四角形の面積は最大となるが，これが，

　　ａｃ＋ｂｄ＝ｄ1ｄ2

と等価になることはすぐにはわからない．

１６Ｓ^2－８ａｂｃｄ＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2－２（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）

１６（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）（ｓ－ｄ）

＝２（ａ^2ｃ^2＋ａ^2ｄ^2＋ｂ^2ｃ^2＋ｂ^2ｄ^2＋ｃ^2ｄ^2＋ａ^2ｂ^2）＋８ａｂｃｄ－（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）

には，ａｃ＋ｂｄが出現しないからである．

　また，円に内接しないとき

　　ａｃ＋ｂｄ＞ｄ1ｄ2

となる．すなわち，４辺の長さが与えられた四角形の対角線の長さの積が最大となるのは，円に内接するときである．円に内接しないときでも

ｓｉｎ^2φ＝（－ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ－ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ－ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ＋ｃ－ｄ）／４（ａｃ＋ｂｄ）^2

が成り立ってくれれば面白いのであるが・・・

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