ブレットシュナイダーの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄｃｏｓ^2θ）^1/2

の証明について，まとめておきたいと思います．

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　　２ａｂｃｏｓα＝（ａ^2＋ｂ^2−ｄ1^2）

　　２ｃｄｃｏｓγ＝（ｃ^2＋ｄ^2−ｄ1^2）

　　２ｂｃｃｏｓβ＝（ｂ^2＋ｃ^2−ｄ2^2）

　　２ｄａｃｏｓδ＝（ｄ^2＋ａ^2−ｄ2^2）

　　Ｓ＝１／２・ａｂｓｉｎα＋１／２・ｃｄｓｉｎγ

　　Ｓ^2＝１／４｛ａ^2ｂ^2ｓｉｎ^2α＋２ａｂｃｄｓｉｎαｓｉｎγ＋ｃ^2ｄ^2ｓｉｎ^2γ｝

＝１／４｛ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2α）＋２ａｂｃｄｓｉｎαｓｉｎγ＋ｃ^2ｄ^2（１−ｃｏｓ^2γ）｝

ｃｏｓ（α＋γ）＝ｃｏｓαｃｏｓγ−ｓｉｎαｓｉｎγ

＝ｃｏｓ（β＋δ）＝ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ−１

ｓｉｎαｓｉｎγ＝ｃｏｓαｃｏｓγ−ｃｏｓ２θ

Ｓ^2＝１／４｛ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2α）＋２ａｂｃｄ（ｃｏｓαｃｏｓγ＋１−２ｃｏｓ^2θ）＋ｃ^2ｄ^2（１−ｃｏｓ^2γ）｝

＝１／４｛−（ａｂｃｏｓα−ｃｄｃｏｓγ）^2＋（ａｂ＋ｃｄ）^2−４ａｂｃｄｃｏｓ^2θ）｝

４Ｓ^2＝−１／４・（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2−ｄ^2）^2＋（ａｂ＋ｃｄ）^2−４ａｂｃｄｃｏｓ^2θ←

＝−（ａ^2＋ｂ^2）^2／４−（ｃ^2＋ｄ^2）^2／４＋（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）／２＋（ａｂ＋ｃｄ）^2−４ａｂｃｄｃｏｓ^2θ

＝−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）／４−（ａ^2ｂ^2＋ｃ^2ｄ^2）／２＋（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）／２＋（ａｂ＋ｃｄ）^2−４ａｂｃｄｃｏｓ^2θ

１６Ｓ^2＝−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）−２（ａ^2ｂ^2＋ｃ^2ｄ^2）＋２（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＋４（ａｂ＋ｃｄ）^2−１６ａｂｃｄｃｏｓ^2θ

　ここで，１６Ｓ^2＋１６ａｂｃｄｃｏｓ^2θ＝１６（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）＝△

とおきます．

△＝−（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＋２ａ^2ｂ^2＋２ｃ^2ｄ^2＋２ａ^2ｃ^2＋２ａ^2ｄ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｂ^2ｄ^2＋８ａｂｃｄ

　また，右辺は１６（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）に等しいことが確かめられる．

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