（その２６）において，杉岡幹生氏はフーリエシステムを用いて
Σｎ^k／｛ｅｘｐ（２πｎ）−１｝
はｋが奇数のとき明示的な積分表示の形で求められるが，偶数のときは関数を閉じた形に表せないことを示している．
それでは
Σｎ^k／｛ｅｘｐ（２πｎ）｝
Σ１／ｎ^k｛ｅｘｐ（２πｎ）｝
はどうなるだろうか？
今回のコラムでは，杉岡氏のフーリエシステムを用いた計算結果
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page179.htm
を紹介したい．
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【１】フーリエシステムを用いた積分表示
［１］２πを周期とする周期関数
f(x)=Σcos(nx)/{nexp(2πn)}
に対して
cos(nx)/{nexp(2πn)}=1/π∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx
これを部分積分すると
1/{nexp(2πn)}=1/π∫(-π,π)(Σsin(kx)/{exp(2πk)}sin(nx)/ndx
これを縦に足し合わせると
Σ1/{nexp(2πn)}=1/π∫(-π,π)(Σsin(kx)/{exp(2πk)}Σsin(nx)/ndx
ここで，フーリエ級数の公式
Σsin(nx)/n=(π-x)/2
Σsin(kx)/{exp(2πk)}={sin(x)/{cosh(2π)-cos(x)}}/2=g(x)
より
Σ1/{kexp(2πk)}=1/π∫(-π,π)g(x)(π-x)/2dx
である．
Σ1/n{exp(2πn)}=-log(1-exp(-2π))
であるから，
Σ1/{kexp(2πk)}=1/π∫(-π,π)g(x)(π-x)/2dx
はその積分表示になっていることがわかる．
［２］それに対して，Σ1/n^2{exp(2πn)}の場合は，２πを周期とする周期関数
f(x)=Σcos(nx)/n^2{exp(2πn)}
に対して
cos(nx)/n^2{exp(2πn)}=1/π∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx
これを部分積分すると
1/n^2{exp(2πn)}=1/π∫(-π,π)(Σsin(kx)/k{exp(2πk)}sin(nx)/ndx
これを縦に足し合わせると
Σ1/n^2{exp(2πn)}
=1/π∫(-π,π)(Σsin(kx)/k{exp(2πk)}Σsin(nx)/ndx
=1/π∫(-π,π)(Σcos(kx)/{exp(2πk)}Σcos(nx)/n^2dx
ここで，フーリエ級数の公式
Σcos(nx)/n^2=(π-x)^2/4-π^2/12
Σcos(kx)/{exp(2πk)}={sinh(x)/{cosh(2π)-cos(x)}-1}/2=g(x)
より
Σ1/{k^2exp(2πk)}=1/π∫(-π,π)g(x){(π-x)^2/4-π^2/12}dx
である．
Σ1/n^2{exp(2πn)}=polylog(2,exp(-2π))=L2(exp(-2π))
であるから，
Σ1/{k^2exp(2πk)}=1/π∫(-π,π)g(x){(π-x)^2/4-π^2/12}dx
はその積分表示になっていることがわかる．
［３］同様に，
Σ1/n^3{exp(2πn)}
=1/π∫(-π,π)(Σsin(kx)/k^2{exp(2πk)}Σsin(nx)/ndx
=1/π∫(-π,π)(Σcos(kx)/k{exp(2πk)}Σcos(nx)/n^2dx
=1/π∫(-π,π)(Σsin(kx)/{exp(2πk)}Σcos(nx)/n^3dx
ここで，フーリエ級数の公式
Σsin(nx)/n^3=π^3-π^2x+(x-π)^3/12
Σsin(kx)/{exp(2πk)}={sin(x)/{cosh(2π)-cos(x)}}/2=g(x)
より
Σ1/{k^3exp(2πk)}=1/π∫(-π,π)g(x){π^3-π^2x+(x-π)^3/12}dx
である．
Σ1/n^3{exp(2πn)}=polylog(3,exp(-2π))=L3(exp(-2π))
であるから，
Σ1/{k^3exp(2πk)}=1/π∫(-π,π)g(x){π^3-π^2x+(x-π)^3/12}dx
はその積分表示になっていることがわかる．
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【２】雑感
杉岡氏の計算では
Σ１／ｎ^k｛ｅｘｐ（２πｎ）｝，ｋ≧１
の場合，フーリエ級数に適当な公式
Σsin(kx)/{exp(2πk)}={sin(x)/{cosh(2π)-cos(x)}}/2
Σcos(kx)/{exp(2πk)}={sinh(2π)/{cosh(2π)-cos(x)}-1}/2
が存在したので，明示的な積分表示の形で求められたが，
Σｎ^k／｛ｅｘｐ（２πｎ）｝，ｋ≧０
の積分表示は求められなかったそうである．
それらの値は
Σ1/{exp(2πn)}=1/(exp(2π)-1)
Σn/{exp(2πn)}=exp(2π)/(exp(2π)-1)^2
Σn^2/{exp(2πn)}=exp(2π)(exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^3
Σn^3/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(4π)+4exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^4
Σn^4/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(6π)+11exp(4π)+11exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^5
Σn^5/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(8π)+26exp(6π)+66exp(4π)+26exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^6
などと計算されるから，とても不思議なことに感じられる．杉岡氏の記事を参照してほしい．
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