シェルピンスキーの三角形はフラクタル図形で，正三角形の各辺の中点をつないで，４つの小正三角形に分割し，真ん中を取り去り，残った３つの正三角形を同じように４つに分割して各々真ん中の三角形を取り去って，また分割していく動作を無限に繰り返してできる図形である．

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【１】シェルピンスキーの三角形

　ます単純な三角形を描き，次にもとの三角形の半分の大きさの三角形を３つ作って，もとの三角形のそれぞれの隅におく（三角形を４つの合同な三角形に分割して中央の三角形を取り除く）．これを無限回繰り返す．

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　マス目の大きさを半分にした方眼紙で同じことを繰り返すと画素数は３倍になるから，そのフラクタル次元は

　　２^d＝３→ｄ＝ｌｏｇ３／ｌｏｇ２＝１．５８５

となる．

　このようにして，シェルピンスキーの三角形のフラクタル次元は

　　ｌｏｇ３／ｌｏｇ２＝１．５８５

であることがわかる．

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　シェルピンスキーの三角形では，くり抜かれた三角形の大きさと数はベキ分布（パワー則，power law）にしたがう．

　もとの三角形の１辺の長さを１とすると，１回目のくり抜きのとき，１辺の長さは１／２（面積は１／４）になる．→ｎ回目のくり抜きのとき，１辺の長さは（１／２）^n（面積は（１／２）^2n）になる．

　くり抜かれる数は１回目１→２回目３→３回目９→・・・ｎ回目３^n-1であるから，くり抜かれる面積は

Ｓn＝１・（１／２）^2＋３・（１／２）^4＋９・（１／２）^6＋・・・＋３^n-1・（１／２）^2n

＝１／３・Σ（３／４）^n

　ｎ→∞のとき，Ｓn→１／３・１／４（１−３／４）＝１／３

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　一方，周長は

　　３＋９／２＋２７／４＋８１／８＋・・・

＝３（１＋（３／２）＋（３／２）^2＋（３／２）^3＋・・・）→∞

　こうして，無限の周囲が有限の面積を囲んでいることになる．

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