４辺の長さを与えても四角形の形は決まらないので，ｄ1，ｄ2を消去することは期待できないが，四角形が円に内接するときなどは可能かもしれない．また，

　　Ｓ＝１／２・ａｂｓｉｎα＋１／２・ｃｄｓｉｎγ

　　Ｓ＝１／２・ｂｃｓｉｎβ＋１／２・ｄａｓｉｎδ

であるから，ｄ1，ｄ2の一方だけにできるかもしれない．もう少し粘ってみたい．

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　円に内接する場合，

　　Ｓ＝１／２・ｄ1ｄ2ｓｉｎφ＝１／２・（ａｃ＋ｂｄ）ｓｉｎφ

　また，

　　４ａ^2ｂ^2ｓｉｎ^2α＝４ａ^2ｂ^2−（ａ^2＋ｂ^2−ｄ1^2）

　　４ｃ^2ｄ^2ｓｉｎ^2γ＝４ｃ^2ｄ^2−（ｃ^2＋ｄ^2−ｄ1^2）

　　Ｓ＝１／２・ａｂｓｉｎα＋１／２・ｃｄｓｉｎγ

符号を無視すると

＝１／４｛４ａ^2ｂ^2−（ａ^2＋ｂ^2−ｄ1^2）｝^1/2＋１／４｛４ｃ^2ｄ^2−（ｃ^2＋ｄ^2−ｄ1^2）｝^1/2

　これは４辺の長さと一本の対角線の長さを与えれば，四角形の形が決まること等価である．

　同様に

　　４ｂ^2ｃ^2ｓｉｎ^2β＝４ｂ^2ｃ^2−（ｂ^2＋ｃ^2−ｄ2^2）

　　４ｄ^2ａ^2ｓｉｎ^2δ＝４ｄ^2ａ^2−（ｄ^2＋ａ^2−ｄ2^2）

　　Ｓ＝１／２・ｂｃｓｉｎβ＋１／２・ｄａｓｉｎδ

符号を無視すると

＝１／４｛４ｂ^2ｃ^2−（ｂ^2＋ｃ^2−ｄ2^2）｝^1/2＋１／４｛４ｄ^2ａ^2−（ｄ^2＋ａ^2−ｄ2^2）｝^1/2

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［補］四角形については，プトレマイオス（トレミー）の定理「円に内接する四角形の対角線の積は，対辺の積の和に等しい」がある．

　　ＡＣ・ＢＤ＝ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ

　この定理において，もし四角形が長方形ならば

　　ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2

となり，ピタゴラスの定理に帰着する．

　また，４点が同一円周上にないとき，不等式

　　ＡＣ・ＢＤ＜ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ

が成り立つ．

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