ラマヌジャンは
Σn^k/{exp(2πn)-1}=?
を問題として，
Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504
Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π
Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240
Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)
を証明している．
杉岡幹生氏もＨＰ
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page175.htm
において
Σn^k/{exp(2πn)-1}=?
を取り上げたが，
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page178.htm
では
Σn^k/{exp(2πn)}=?
の収束値について問題としている．今後，
Σn^k/{exp(2πn)+1}=?
も取り上げられるであろうと思う．
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【１】統計力学
n個の箱にr個の玉を入れる問題を考えます．箱を空間の小領域，玉を気体の分子と見立てて，ボルツマンは統計力学（Maxwell-Boltzmann統計）を構成しました．ＭＢ統計では１つの玉の入れ方がｎ通りで，玉がｒ個ですから全部でn^r通りの入れ方があると考えます．しかし，このように考えると，黒体輻射の実験がどうしてもうまく説明できませんでした．
そこで，玉は区別がつかないと仮定すると，n個の箱に区別できないr個の玉を入れる入れ方は重複組合せnＨr通り＝n+r-1Ｃr通りあることになり，新たな統計力学が構成されます．この統計力学はBose-Einstein統計と呼ばれ，光子や中性子がうまく当てはまります．ＢＥ統計にしたがう素粒子はボゾン（boson）と呼ばれます．
さらに，１つの箱には玉は１つしか入らないとするパウリの排他則を仮定すると重複のない組合せnＣr通りとなり，Fermi-Diracの統計が得られます．ＦＤ統計にしたがう素粒子に電子や陽子があり，それらはフェルミオン（fermion）と総称されます．
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【２】ガンマ関数とゼータ関数
Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt x>0
無限積分Γ(x)をｘの関数とみてガンマ関数といいます．また，ゼータ関数は無限級数
ζ(x)=Σ1/n^x＝1/1^x+1/2^x+1/3^x+1/4^x+･･･
として定義される関数です．すなわち，ゼータ関数は調和級数を一般化したものと考えることができます．
ゼータ関数とガンマ関数との間に
ζ(x)=1/Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(t)-1)dt
ζ(x)=1/(1-2^(1-x))Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(t)+1)dt
が成り立ちます．これらを導いてみましょう．
Γ(s)=∫(0,∞)t^(s-1)exp(-t)dt
にｔ＝ｎｘを代入するならば
Γ(s)/n^s=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-nx)dx
が得られる．この式のｎについての総和をとるなら
ΣΓ(s)/n^s=Σ∫(0,∞)x^(s-1)exp(-nx)dx
=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-x){1+exp(-x)+exp(-2x)+･･･}dx
=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-x)/(1-exp(-x))dx
１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・１／（１−ｘ）
=∫(0,∞)x^(s-1)/(exp(x)-1)dx
これより
Γ(s)ζ(s)=∫(0-∞)x^(s-1)/(exp(x)-1)dx
が得られる．
また，交代級数
φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+･･･=Σ(-1)^(n-1)/n^s
を考えます．負項を正項に変えて，あとでその２倍を引きます．
φ(s)=(1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+･･･)-2(1/2^s+1/4^s+･･･)
=(1-2^(1-s))ζ(s)
となります．
ΣΓ(s)(-1)^(n-1)/n^s
=Σ∫(0,∞)x^(s-1)(-1)^(n-1)exp(-nx)dx
=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-x){1-exp(-x)+exp(-2x)-･･･}dx
=∫(0,∞)x^(s-1)exp(-x)/(1+exp(-x))dx
１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋・・・＝１／（１＋ｘ）
=∫(0,∞)x^(s-1)/(exp(x)+1)dx
これより
Γ(s)ζ(s)(1-2^(1-s))=∫(0-∞)x^(s-1)/(exp(x)+1)dx
が得られる．
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【３】ラマヌジャンの等式の近似値
ラマヌジャンの等式は，ゼータ関数の積分表示
ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx
の離散化とみることができるが，この式はプランク分布（Bose-Einstein統計）そのものといってもよい．ラマヌジャンの計算の近似値を求めてみることにしよう．
ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx
において，ｘ＝２πｙとおくと，ｄｘ＝２πｄｙより，
∫(0,∞)y^(s-1)/{exp(2πy)-1}dy=ζ(s)Γ(s)/(2π)^s
これより，
Σn^(s-1)/{exp(2πn)-1} 〜 ζ(s)Γ(s)/(2π)^s
ここで，ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945を代入すると，
Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504 〜 1/504
Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240 〜 1/240
Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π 〜 1/24
Bose-Einstein統計 → ζ(x)=1/Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(t)-1)dt
と同様に，
Fermi-Dirac統計 → ζ(x)=1/(1-2^(1-x))Γ(x)∫(0,∞)t^(x-1)/(exp(t)+1)dt
Maxwell-Boltzmann統計 → Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt
が対応すると見ることができる．
Σn^(s-1)/{exp(2πn)+1} 〜 ζ(s)Γ(s)(1-2^(1-s))/(2π)^s
Σn^(s-1)/{exp(2πn)} 〜 Γ(s)/(2π)^s
したがって，
Σn^5/{exp(2πn)+1} 〜 (1-2^(-5))/504=31/(32･504)
Σn^3/{exp(2πn)+1} 〜 (1-2^(-3))/240=7/(8･240)
Σn/{exp(2πn)+1}=1/24-1/8π 〜 (1-2^(-1))/24=1/(2･24)
Σn^5/{exp(2πn)} 〜 6!/(2π)^6=45/(4π^6)
Σn^3/{exp(2πn)} 〜 4!/(2π)^4=3/(2π^4)
Σn/{exp(2πn)} 〜 2!/(2π)^2=1/(2π^2)
実は，
Σn^k/{exp(2πn)}=?
については近似値を求める必要はなく，
Σ1/n{exp(2πn)}=-log(1-exp(-2π))
Σ1/{exp(2πn)}=1/(exp(2π)-1)
Σn/{exp(2πn)}=exp(2π)/(exp(2π)-1)^2
Σn^2/{exp(2πn)}=exp(2π)(exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^3
Σn^3/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(4π)+4exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^4
Σn^4/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(6π)+11exp(4π)+11exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^5
Σn^5/{exp(2πn)}=exp(2π)((exp(8π)+26exp(6π)+66exp(4π)+26exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)^6
などと計算されます．
ｋ＜−１の場合は，ポリログ関数が出現します．
Σ1/n^2{exp(2πn)}=polylog(2,exp(-2π))=L2(exp(-2π))
Σ1/n^3{exp(2πn)}=polylog(3,exp(-2π))=L3(exp(-2π))
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