Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄｃｏｓ^2θ）^1/2

Ｓ^2＝｜（−ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ−ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ−ｃ＋ｄ）（ａ＋ｂ＋ｃ−ｄ）／８−ａｂｃｄｃｏｓ^2θ｜

において，θは対角のなす角度の半分である．

　これから対角線のなす角度φを求めることができるだろうか？

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　　Ｓ＝１／２・ｄ1ｄ2ｓｉｎφ

　　ｄ1^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂｃｏｓα＝ｃ^2＋ｄ^2−２ｃｄｃｏｓγ

　　ｄ2^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃｃｏｓβ＝ｄ^2＋ａ^2−２ｄａｃｏｓδ

　　α＋β＋γ＋δ＝２π

　　（β＋δ）／２＝θ，（α＋γ）／２＝π−θ

　　ｃｏｓα＝（ａ^2＋ｂ^2−ｄ1^2）／２ａｂ

　　ｃｏｓγ＝（ｃ^2＋ｄ^2−ｄ1^2）／２ｃｄ

　　ｃｏｓβ＝（ｂ^2＋ｃ^2−ｄ2^2）／２ｂｃ

　　ｃｏｓδ＝（ｄ^2＋ａ^2−ｄ2^2）／２ｄａ

ｃｏｓαｃｏｓγ＝（ａ^2＋ｂ^2−ｄ1^2）（ｃ^2＋ｄ^2−ｄ1^2）／４ａｂｃｄ

ｃｏｓβｃｏｓδ＝（ｂ^2＋ｃ^2−ｄ2^2）（ｄ^2＋ａ^2−ｄ2^2）／４ａｂｃｄ

　また，４辺の中点を連結した平行四辺形の面積は元の四角形の１／２であるから

　　１／８｛ａｂｓｉｎα＋ｃｄｓｉｎγ＋ｂｃｓｉｎβ＋ｄａｓｉｎδ）＝Ｓ／２

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［まとめ］ｓｉｎφをａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｄ1，ｄ2で表せることはわかった．ここで，すぐ気づくのはトレミーの定理

　　ａｃ＋ｂｄ＝ｄ1ｄ2

である．ｄ1，ｄ2も消去できればよいのであるが・・・．

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