四角形の面積は，２本の対角線の長さをｄ1，ｄ2，それらのなす角度をαとすると

　　Ｓ＝１／２・ｄ1ｄ2ｓｉｎα

で与えられる．また，４辺の中点を連結した平行四辺形の面積は元の四角形の１／２である．

　４辺の長さを与えてもその形は決まらないので，ヘロンの公式のような公式は期待できないが，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／２

が成り立つ．

　ブラーマグプタの公式を証明しておきたい．

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【１】ブラーマグプタの公式

　四角形の４辺の長さをａ，ｂ，ｃ，ｄ，内角をα，β，γ，δとする．ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄとおくと，四角形の面積は

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄ（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２

となる．

　この定理でｄ→０とすると，三角形のヘロンの公式

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

が得られる．

　また，四角形が円に内接するとき，β＋δ＝π，ｃｏｓ（β＋δ）＝−１より，面積は最大となり

　　Ｓ^2＝（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）

が成り立つ．（四角形が円に内接するとき，ブラーマグプタの公式に一致する．）

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【２】ブレットシュナイダーの公式

　また，（β＋δ）／２＝θとおくと，

　　（１＋ｃｏｓ（β＋δ））／２＝（１＋ｃｏｓ２θ）／２＝ｃｏｓ^2θ

であるから，ブレットシュナイダーの公式に一致する．

　辺ａ、ｂのなす角をα，辺ｃ、ｄのなす角をβ，θ＝（α＋β）／２とすると，１９世紀になってから四角形の面積を正確に求める公式が得られた．

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ）−ａｂｃｄｃｏｓ^2θ）^1/2

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