素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．

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【１】√２が無理数であること

　√２が有理数であると仮定する．

　　√２＝ｐ／ｑ　　（ｐ，ｑは互いに素な整数）

　ｐ＝√２ｑの両辺を２乗すると，ｐ^2＝２ｑ^2→ｐは偶数（ｐ＝２ｒ）

　４ｒ^2＝２ｑ^2→ｑ^2＝２ｒ^2→ｑは偶数．

これはｐ，ｑは互いに素な整数という仮定に反する．

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【２】素数が無限に存在すること

　素数は有限個しかないと仮定する．ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn

　　Ｎ＝ｐ1・ｐ2・・・ｐn＋１

とおく．Ｎをｐ1，ｐ2，・・・，ｐnで割ると１余る．

　Ｎは新しい素数であるか合成数であるか，いずれか一方であるが，いずれにせよ，素数は有限個しかないという仮定に反する．

　　Ｎ＝２・３・５＋１＝３１　　（素数）

　　Ｎ＝３・５・７＋１＝１０６＝２：５３　　（非素数）

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