■素数定理とエラトステネスのふるい(その3)

 フェルマーは平方数と平方数の倍数の和として表される素数,すなわち

  □+m□=p

に一定の規則性を発見しました.

[1]4n+1型素数はa^2+b^2の形に表されますが,4n+3型素数は表されません.

[2]3n+1型素数はa^2+3b^2の形に表されますが,3n+2型素数は表されません.

[3]8n+1型,8n+3型素数は

a^2+2b^2の形に表されますが,8n+5型,8n+7型素数は表されません.

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【1】フェルマーの定理

 pが素数なら,a^p-aはpで割り切れる.

 pが素数なら,aとpは互いの素ならば,a^p-1-1はpで割り切れる.

 nが素数であることは2^n-1が素数であるための必要条件です.しかし,逆の十分性は成り立ちません.

  2^2-1=3  (素数)

  2^3-1=7  (素数)

  2^5-1=31  (素数)

  2^7-1=127  (素数)

  2^11-1=2047=23・89  (非素数)

  2^13-1=8191  (素数)

 フェルマーの定理の応用性は高く,

  2^4-1=15  (非素数)

  2^6-1=63  (非素数)

  2^8-1=255  (非素数)

  2^9-1=511=7・73  (非素数)

  2^12-1=1023=3・341  (非素数)

などはすぐ判定できます.

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【2】レプユニット型素数

 メルセンヌ素数に引き続き,レプユニット型素数について調べてみましょう.

  10^6-1=999999

=9・111111  (非素数)

=7・142857  (非素数)

の非素数性は明らかですが,

  (10^6-1)/9=111111=R6

は素数でしょうか?

[1]Rnは2または5で割り切れない

[2]nが3の倍数のとき,Rnは3で割り切れる

  R6=3・37037

[3]nが6の倍数のとき,Rnは7または13で割り切れる

  R6=7・15873=13・8547

[4]nが2の倍数のとき,Rnは11で割り切れる

  R6=11・10101

 メルセンヌ素数と同じく,Rnが素数ならnは素数ですが,逆は成り立ちません.たとえば,

  R3=111=3・37

 現在のところ,レプユニット型素数は

  R2,R19,R23,R317,R1031

だけが知られていますが,メルセンヌ素数のようにいくつあるのか,有限個か無限個さえも知られていません.

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