ａｂｃ＝８ｘｙｚ＝４Ｒｒ^2

　ａ＋ｂ＋ｃ≧３（４Ｒｒ^2）^1/3

　ａ＋ｂ＋ｃに関して，他に何かいえないものだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】内接円の関数として

　　Ａ＝ｂｃｏｓＢ／２＋ｃｃｏｓＣ／２

　　Ｂ＝ｃｃｏｓＢ／２＋ａｃｏｓＡ／２

　　Ｃ＝ａｃｏｓＡ／２＋ｂｃｏｓＢ／２

→ａｃｏｓＡ／２＝（Ｂ＋Ｃ−Ａ）／２

　ｂｃｏｓＢ／２＝（Ｃ＋Ａ−Ｂ）／２

　ｃｃｏｓＣ／２＝（Ａ＋Ｂ−Ｃ）／２

　　２△＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ

　　ａｓｉｎＡ／２＝ｂｓｉｎＢ／２＝ｃｓｉｎＣ／２＝ｒ

　　ａ^2・２ｓｉｎＡ／２ｃｏｓＡ／２＝ａ^2ｓｉｎＡ＝ｒ（Ｂ＋Ｃ−Ａ）

　　ｂ^2・２ｓｉｎＢ／２ｃｏｓＢ／２＝ｂ^2ｓｉｎＢ＝ｒ（Ｃ＋Ａ−Ｂ）

　　ｃ^2・２ｓｉｎＣ／２ｃｏｓＣ／２＝ｃ^2ｓｉｎＣ＝ｒ（Ａ＋Ｂ−Ｃ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】外接円の関数として

　　Ａ＝２ＲｓｉｎＡ，Ｂ＝２ＲｓｉｎＢ，Ｃ＝２ＲｓｉｎＣ

　　ａ^2＝ｒ（Ｂ＋Ｃ−Ａ）・２Ｒ／Ａ

　　ｂ^2＝ｒ（Ｃ＋Ａ−Ｂ）・２Ｒ／Ｂ

　　ｃ^2＝ｒ（Ａ＋Ｂ−Ｃ）・２Ｒ／Ｃ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】ヘロンの公式

Δ^2＝（２Ａ^2Ｂ^2＋２Ｂ^2Ｃ^2＋２Ｃ^2Ａ^2−Ａ^4−Ｂ^4−Ｃ^4）／１６

　　＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）（−Ａ＋Ｂ＋Ｃ）（Ａ−Ｂ＋Ｃ）（Ａ＋Ｂ−Ｃ）／１６

Δ^2＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ＡＢＣａ^2ｂ^2ｃ^2／１６（２Ｒｒ）^3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】一般的公式

　　ＡＢＣ＝４Ｒ△，（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ＝２△

　　ＡＢＣ＝２Ｒ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ

　　ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝４ｃｏｓＡ／２ｃｏｓＢ／２ｃｏｓＣ／２

Δ^2＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ＡＢＣａ^2ｂ^2ｃ^2／１６（２Ｒｒ）^3

Δ^2＝２△／ｒ・４Ｒ△・ａ^2ｂ^2ｃ^2／１６（２Ｒｒ）^3

１＝２／ｒ・４Ｒ・ａ^2ｂ^2ｃ^2／１６（２Ｒｒ）^3

ａ^2ｂ^2ｃ^2＝２ｒ（２Ｒｒ）^3／Ｒ＝１６Ｒ^2ｒ^4

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　これは既知なので，

　　ａ^2＝ｒ（Ｂ＋Ｃ−Ａ）・２Ｒ／Ａ＝２Ｒｒ（Ｂ／Ａ＋Ｃ／Ａ−１）

　　ｂ^2＝ｒ（Ｃ＋Ａ−Ｂ）・２Ｒ／Ｂ＝２Ｒｒ（Ｃ／Ｂ＋Ａ／Ｂ−１）

　　ｃ^2＝ｒ（Ａ＋Ｂ−Ｃ）・２Ｒ／Ｃ＝２Ｒｒ（Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｃ−１）

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝２Ｒｒ（Ｂ／Ａ＋Ｃ／Ａ＋Ｃ／Ｂ＋Ａ／Ｂ＋Ａ／Ｃ＋Ｂ／Ｃ−３）≧６Ｒｒ

　等号は正三角形のとき，ａ＝ｂ＝ｃ＝Ｒ，ｒ＝Ｒ／２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［まとめ］

ａ＋ｂ＋ｃ≧３（４Ｒｒ^2）^1/3

ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2≧６Ｒｒ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝