図形数を拡張するする方向として，ひとつには高次元化すること

［１］三角数ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四面体数ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６

［３］五胞体数ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／２４

［４］六房体数ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）／１２０

　もう一つには指数を大きくすること

［１］三角数ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四角数ｎ^2＝ｎ（２ｎ−０）／２

［３］五角数ｎ^2＝ｎ（３ｎ−１）／２

［４］六角数ｎ（４ｎ−２）／２

［５］七角数ｎ（５ｎ−３）／２

［６］八角数ｎ（６ｎ−４）／２

である．

　五角数と三角数との関係では

　　Ｐn＝Ｔ2n-1−Ｔn-1，Ｐn＝Ｔ3n-1／３

　六角数と三角数との関係では

　　Ｈn＝Ｔn-1＋ｎ

となることは高校生でも計算できるだろう．

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　六角数は三角数をひとつ置きにとったものである．完全数は六角数であるから，三角数でもあるといえる．したがって，

［Ｑ］３角数かつ５角数かつ６角数であるものは？

＝［Ｑ］５角数であり６角数であるものは？

［Ａ］５角数であり６角数であるものは無限に存在するか？

（証明）（３ｙ^−ｙ）／２＝（４ｘ^2−２ｘ）／２，すなわち，

　　３（ｙ−１／６）^2−１／１２＝４（ｘ−１／４）^2−１／４

　　３（１２ｙ−２）^2−１２＝４（１２ｘ−３）^2−３６

　　１２（６ｙ−１）^2−３６（４ｘ−１）^2＝−２４

　　（６ｙ−１）^2−３（４ｘ−１）^2＝−２

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３によって定義すると，

　　ａn^2−３ｂn^2＝（ａn＋ｂn√３）（ａn−ｂn√３）

　　　　　　　　　＝（１＋√３）^n（１−√３）^n＝（−２）^n

また，（１＋√３）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（３の倍数），ｂn＝ｎ＋（３の倍数）

よって，ｎを３の倍数にとるとａn^2−３ｂn^2＝？？？となって，右辺が定まらない．

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