産総研の手嶋吉法先生から窺った話では，１つの軸が残りのｎ−１本の軸となす角が等しいという意味で対称性をもつのは最大６方向までで，ｎ＝１，２，３，４，６に限られるのだそうである．３軸に対しては立方体，４軸に対しては正八面体，６軸に対しては正１２面体や正２０面体が存在するが，５軸に対しては正１０面体が存在しないためである．

　４方向を立方体の対角線の方向［１，１，１］，［−１，１，１］，［１，−１，１］，［１，１，−１］にとるのが４軸構造であり，ザクロ石の結晶は実際にこの構造をとる．空間充填１８面体の場合もその４軸はそれぞれ１０９．４７１°（７０．５２９°）をなしているのだが，４軸は交わらずにねじれの位置にある．

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【１】構造体�Tと構造体�U

　４軸構造にはトポロジカルに異なる構造が２種類あり，接触指数６^4（構造体�T）と３^4（構造体�U）の２タイプが存在することがわかっている．たとえば［１，１，１］を法線ベクトルとする平面（ｘ＋ｙ＋ｚ＝０）に投影したとき円柱が他の円柱と６点で接し，自己保持されているのが構造体�T，３点で接し固定されているのが構造体�Uである．

［１］構造体�T

［２］構造体�U

　構造体�Tの空間充填率√３π／８＝０．６８０に対して，構造体�Uでは√３π／１８＝０．３０２となる．

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【２】構造体�Tの計量

　空間充填１８面体の設計と関係しているのは構造体�Tと思われる．円柱の直径をｄとするとき，構造体�Tを［１，１，１］を法線ベクトルとする平面（ｘ＋ｙ＋ｚ＝０）に投影した図では，直径ｄの円板が６組の平行線によって，ダビデの星型に取り囲まれる．平行線の間隔もｄであり，平面に投影した図の解析から，円柱の中心軸間距離が４ｄ／√３であることなどを窺い知ることができるが，本質的には立体幾何学的な解析が必要とされる．

　円板や球の充填問題はよく知られているが，合同な円柱だけを寄せ集めた構造についてはそれほど多くの研究はなされていないらしい．そのため，定まった表記法になっているかどうかはわからないが，手嶋先生の表記法にしたがって，円柱の中心軸ベクトルＰi＝ｔＡi＋Ｂiを求めることにしよう．

［１］円柱の方向ベクトルを［１，１，１］方向にとり，

　　Ａ1＝［１，１，１］，Ａ2＝［−１，１，１］，Ａ3＝［１，−１，１］，Ａ4＝［１，１，−１］

とおく．以下，これを規格化した

　　Ａ1＝１／√３［１，１，１］

　　Ａ2＝１／√３［−１，１，１］

　　Ａ3＝１／√３［１，−１，１］

　　Ａ4＝１／√３［１，１，−１］

を方向ベクトルとして用いることにする．

［２］定点ベクトルＢiをＡiと直交するように選ぶ．たとえば，規格化した定点ベクトルは

　　Ｂ2＝１／√２［０，１，−１］，Ｂ3＝１／√２［−１，０，１］，Ｂ4＝１／√２［１，−１，０］

になる．ここでは，定点ベクトルの大きさをｄとして，

　　Ｂ2＝ｄ／√２［０，１，−１］

　　Ｂ3＝ｄ／√２［−１，０，１］

　　Ｂ4＝ｄ／√２［１，−１，０］

と定める．

　また，ＡiとＡjの両方に直交するベクトルＢij，その大きさをｄで定めると

　　Ｂ23＝ｄ／√２［１，１，０］

　　Ｂ34＝ｄ／√２［０，１，１］

　　Ｂ42＝ｄ／√２［１，０，１］

となるが，これら６方向の定点ベクトルは［１，１，０］方向すなわち正四面体の６稜の方向，立方体の各面での対角線の方向あるいは菱形１２面体の各面の法線方向と言い表すことができる．

［３］さらに，空間図形を［１，１，１］を法線ベクトルとする平面（ｘ＋ｙ＋ｚ＝０）に投影するためのベクトルを用意しておく．Ｂ2，Ｂ3，Ｂ4はＡ1にも直交するが，Ａ1に直交し，平面に投影した際にＡ2，Ａ3，Ａ4と同じ方向になるベクトルをＣk＝Ｂi−Ｂjを規格化して定める．たとえば，Ａ2と同じ方向に投影されるベクトルはＢ3−Ｂ4＝ｄ／√２［−２，１，１］よりＣ2＝１／２（−２，１，１）となる．

　　Ｃ2＝１／２［−２，１，１］

　　Ｃ3＝１／２［１，−２，１］

　　Ｃ4＝１／２［１，１，−２］

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【３】構造体�Tの円柱の接点

　円柱の中心軸ベクトルＰi＝ｔＡi＋Ｂiを求めると

　　Ｐ1＝［ｔ／√３，ｔ／√３，ｔ／√３］

　　Ｐ2＝［−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２］

　　Ｐ3＝［ｔ／√３−ｄ／√２，−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２］

　　Ｐ4＝［ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２，−ｔ／√３］

となる．

　２円柱Ｐi，Ｐjの双方に対して垂直な単位ベクトルｎijは

　　ｎij＝Ａi×Ａj／｜Ａi×Ａj｜＝１／√２（１，１，０）

さらに２円柱Ｐi，Ｐjの距離ｄijは

　　ｄij＝｜ｎij・（Ｂi−Ｂj）｜＝ｄ

と計算される．

　実際，

　　ｎ23＝Ａ2×Ａ3／｜Ａ2×Ａ3｜＝１／√２（１，１，０）

　　ｄ23＝｜ｎ23・（Ｂ2−Ｂ3）｜＝ｄ

となり，円柱は互いに接していることがわかる．

　巡回置換であるから，同様に

　　ｎ34＝Ａ3×Ａ4／｜Ａ3×Ａ4｜＝１／√２（０，１，１）

　　ｎ42＝Ａ4×Ａ2／｜Ａ4×Ａ2｜＝１／√２（１，０，１）

　　ｄ34＝｜ｎ34・（Ｂ3−Ｂ4）｜＝ｄ

　　ｄ42＝｜ｎ42・（Ｂ4−Ｂ2）｜＝ｄ

　つぎに円柱Ｐ2，Ｐ3の接点を求めてみよう．

　　Ｐ2＝（−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２）

　　Ｐ3＝（−ｔ／√３−ｄ／√２，ｔ／√３，−ｔ／√３＋ｄ／√２）

の距離ｄ23＝ｄとおいて，

　　２ｔ^2−２√６ｄｔ＋３ｄ^2＝０　→　ｔ＝ｄ√（３／２）

　Ｐ2とＰ3の接点における２重法線の方向ベクトルは１／√２（１，１，０）となるので，接点の座標は

　　ｔＡ2＋Ｂ2＋Ｂ23／２＝（−ｄ／２√２，５ｄ／２√２，０）

となる．

　接点を平面に投影する場合は，Ｃkとの内積をとって

　　ｔＡ2・Ｃ2＝√２ｄ

　　Ｂ23／２・Ｃ4＝ｄ／２√２

すなわち，円との接点から平行線の中心に沿って√２ｄ，そこから方向を６０°内側に変えてｄ／２√２進んだところが接点の平面座標となる．

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