【１】五角数と三角数

　五角数１，５，１２，２２，３５，・・・，Ｐn＝ｎ（３ｎ−１）／２については，五角数の和が

　　ΣＰk＝ｎ^2（ｎ＋１）／２

となること，三角数との関係では

　　Ｐn＝Ｔ2n-1−Ｔn-1，Ｐn＝Ｔ3n-1／３

となることは高校生でも計算できるだろう．

　五角数に限らず，ｍ角数を図形的に考えてみると，ｍ角形にｎ−１番目の三角数Ｔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２個の点からなる三角形を追加して作ることができるから

　　ｎ＋（ｍ−２）Ｔn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

と考えることができる．したがって，三角数との関係は五角数に特別のものではない．

　ｍ＝５とおくと，

　　Ｐn＝１／２・ｎ・｛２＋３（ｎ−１）｝＝ｎ（３ｎ−１）／２

　　Ｔ2n-1−Ｔn-1＝２ｎ（２ｎ−１）／２−ｎ（ｎ−１）／２＝Ｐn

　　Ｔ3n-1／３＝＝３ｎ（３ｎ−１）／６＝Ｐn

しかし，これから３角数であり５角数であるものは無限に存在するか？という問に対する答えは得られない．

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【２】六角数と三角数

　ｍ＝６とおくと，

　　Ｈn＝１／２・ｎ・｛２＋４（ｎ−１）｝＝ｎ（４ｎ−２）／２＝２ｎ^2−ｎ

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