つい最近，中川宏さんは正多面体の元素となる３回割りの回転対称性をもつ７面体を木工裁断により製作されたばかりである．そこで，森義彦先生（福島県数学教育協議会）の紙模型を参考に中川さんに空間充填１８面体の木工模型の製作をお願いすることにした．もし空間充填１８面体を作れるとすれば彼以外には考えられないからである．

　空間充填１８面体の木工製作にとりかかる前に，中川さんは面白い副産物を発見してくれた．今回のコラムではそれを紹介することにした．

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【１】大星形菱形１２面体

　４軸構造を円柱や六角柱で作ると隙間ができてしまうことから，中川さんは三角柱１２本で構成することを試みた．すると，以下の写真のような星形多面体になった．

　コラム「星と雪月花」に掲げた菱形十二面体の星形化を小星形菱形１２面体と呼ぶことにすると，これは大星形菱形１２面体と呼べるものである．前者が四角柱６本で構成されるのに対して，後者は三角柱１２本で構成される．

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【２】雑感

　周期的４軸構造に対応するのが空間充填１８面体であるが，ｆ＝１８，ｎ＝４とすると

　　ｆ＝６（ｎ−１）

の関係が成り立つ．一般のｎ軸構造にもこの式が適用できるかどうかはわからないが，ｎ軸構造が解明できればｆ≧３９なる空間充填多面体が発見できるかもしれない．

　産総研の手嶋吉法先生から窺った話では，１つの軸が残りのｎ−１本の軸となす角が等しいという意味で対称性をもつのは最大６方向までで，ｎ＝１，２，３，４，６に限られるのだそうである．したがって，７軸以上に対しては対称的な空間充填多面体にはならないと考えられる．エンゲルの空間充填３８面体も非対称に違いないのだが，論文が入手でき次第紹介したいと思う．

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