２次元平行多面体は２種類（うち原始的は１種類）

　３次元平行多面体は５種類（うち原始的は１種類）

　４次元平行多面体は５２種類（うち原始的は３種類）

　５次元平行多面体は１０万超種類（うち原始的は２２２種類）

　これらが空間を充填する理由は（ｎ＋１，２）次元からｎ次元までの立方体のｎ次元空間への射影になっているからである．ここではｎ次元平行多面体数の上限を押えてみたい．

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　原始的平行多面体は（ｎ＋１，２）組の平行辺をもつ単純多面体である．これをｎ組の平行辺をもつまで縮退させる．１次元縮退させたものは単純多面体とは限らない．

　以上のことから，

　　（ｎ＋１，２）｛（ｎ＋１，２）−１｝｛（ｎ＋１，２）−２｝・・・（ｎ＋２）（ｎ＋１）

で上から押えられると思う．

　Ｐ＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝！／ｎ！

は，ｎ＝２のとき３，ｎ＝３のとき１２０，ｎ＝４のとき１５１２００，・・・

　ｎ→∞のとき，

　　｛ｎ（ｎ＋１）／２｝！〜（２πｎ（ｎ＋１）／２｝^1/2｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^n(n+1)/2ｅｘｐ（−ｎ（ｎ＋１）／２）

　　｛ｎ｝！〜（２πｎ｝^1/2｛ｎ｝^nｅｘｐ（−ｎ）

であるから，

Ｐ〜（２π（ｎ＋１）／２｝^1/2ｅｘｐ（−ｎ（ｎ＋１）／２＋ｎ）｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^n(n+1)/2／ｎ^n

〜（２π（ｎ＋１）／２｝^1/2ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２）ｎ^n(n−1)/2｛（ｎ＋１）／２｝^n(n+1)/2

ともかく猛烈な勢いで大きくなる．

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［まとめ］overestimateだが，上限定理はそういうものである．

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