１種類のブロックを使って，空間を隙間なく埋め尽くすにはどうすればいいだろうか？ レンガはそのひとつの答えなのであるが，どんな形のブロックなら空間を埋め尽くせるだろうか？ そのようなブロックをすべて決定せよというならばこれは大変な難問である．
平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる５種類の平行多面体（フェドロフ）はよく知られているが，平行移動のほかに回転や鏡映操作も許せば，さらに多くの多面体が空間充填可能となる．ちなみに現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｆに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明している．
数年前，森義彦先生（福島県数学教育協議会）が
［参］ウェルズ「不思議おもしろ幾何学事典」朝倉書店
に掲載されている空間充填１８面体の紙模型を製作されたことがある．この空間充填１８面体は１２個の４角形面と６個の８角形面からなる多面体で，３回回転対称性を有しているものの直観ではとらえきれないほど複雑な形をしている．
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【１】空間充填１８面体の計量
この１８面体はかなり複雑な形をした３回回転対称性を有する多面体であるが，分解してみると同軸の重三角錐と２つのねじれ重三角錐のintersectionとして構成することができることがわかった．
重三角錐，ねじれ重三角錐の二面角を計算すると７０．５２８８°（正四面体の二面角）や１２０°と計量される．二面角１２０°は３つの多面体が合して１稜をつくる際の二面角であるが，マラルディの角（ｃｏｓθ＝−１／３，θ＝１０９．４７１°に対応する二面角でもある．
この空間充填１８面体は重三角錐Ａと２つのねじれ重三角錐Ｂ，Ｃのintersectionとしてできているが，ねじれ重三角錐Ｂ，Ｃは２つの正三角錐とねじれ重三角錐台に３分割して作るしかないと思われた．そこで，三角錐の勾配角とねじれ重三角錐台のねじれ角を計算すると
Ａ Ｂ Ｃ
勾配角 ２２．２０７７ ７７．０２８４ ６１．８７４５
ねじれ角 ０ ４６．８２６４ ３０．２１３２
［補］正三角形の重心と頂点を結ぶ線分のなす角はすべて１２０°に等しく，ｃｏｓθ＝−１／２である．正四面体の重心と頂点を結ぶ線分のなす角はすべて１０９．４７１°（マラルディの角）に等しく，ｃｏｓθ＝−１／３である．右辺に現れる分数の分母２と３は空間の次元と一致し，ｎ次元空間における正ｎ＋１胞体の重心と頂点を結ぶ線分のなす角はｃｏｓθ＝−１／ｎとなる．
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【２】空間充填１８面体の着想は如何に？
ところで，この空間充填１８面体はどのような着想で得られたものなのだろうか．当初は正四面体をもとにして設計されたものではないかと推察した．正四面体は単独では空間充填できない．また，正四面体の辺の３等分点で切頂すると切頂四面体となるが，切り取った小正四面体を各面と底面として中心から四等分するとマラルディの角が現れる．この三角錐片の二面角が１２０°である．そして，その三角錐片を切頂四面体の切頂面に載せた形（森先生のレポートでは扁平頂四面体と呼ばれている）は単独で空間充填し得るようになる．しかし，この組み上げ方は正多面体と同じ対称性をもつ空間充填図形であり，１８面体の組み上げ方とは異なるようである．
森先生のレポートによると，この１８面体には裏返し（鏡映対称）の多面体もあるが，どちらか一方だけを用いることにして，８個で平行移動するだけで（回転や反転をさせなくても）３次元空間を埋めつくすことのできる単位ブロックになるという．実際に単位ブロックの面数を数えてみたところ，凹１０６面体であった．この凹１０６面体は単位ブロックであるから，平行多面体（立方体，六角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂八面体）のいずれかを変形（平行な位置にある面はすべて同じように変形）させ凹凸をつけたものになるはずである．実際，平行六面体の平行な位置にある面をすべて同じように変形させ凹凸をつけたものになることはわかったものの，平行六面体をどのようにねじれ重角錐や重角錐に分割するのか，空間充填１８面体はどのように着想して得られたものなのか皆目見当がつかない．
そんな折り，中川宏さんからのメールで空間充填１８面体の構造が切稜立方体をつなぎ合わせてつくったかご状構造に一致していることが確かめられた．このかご状構造は面心立方格子の格子点をまばらに間引いた構造になっていて，その意味ではダイヤモンド構造と類似しているといってよいだろう．このことをきっかけにして，この空間充填１８面体が周期的４軸構造をなしていることの理解に至った．
正四面体の重心と頂点を結ぶ線分のなす角はすべて１０９．４７１°（マラルディの角）に等しく，ｃｏｓθ＝−１／３である．空間充填１８面体の場合もその４軸はそれぞれ１０９．４７１°をなしているのだが，正四面体の場合とは違って，回転対称軸同士が交わらずにねじれの位置にあり，３回対称軸の周りで１２０°回転させると回転操作に伴って４軸がどれかの４軸に移るという関係になっている．以下に４軸構造模型の写真を掲げる．その中心にあるのは菱形十二面体である．菱形十二面体には平行な辺が４組あり，それが４軸を決定するのである．
４軸をどれかの４軸に移す回転操作全体は正４面体群をなし，その位数は１２である．単位ブロックとなる８個の１８面体の組み上げ方にも何種類かあるが，１８面体には８角形面が６面あるため，いずれも１個の周りに６個の１８面体が８角形面で接し，この７個に中心の１８面体と同じ軸のものをもう１個どこかにつけ加えた８個が単位ブロックになっていて，８個のうち２個ずつが同軸になる．
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