（その２）のおさらいから始めたい．位数がｎの有限体はｎが素数と素数の累乗の場合だけに限られる．すなわち，位数が２，４，８，１６，３２，・・・の有限体，３，９，２７，８１，２４３，・・・の有限体はあるが，６や１５の有限体はない．
有理変換（メビウス変換）
ｚ’＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）
は円を円に変換するが，ここでａ＝１，ｂ＝１，ｃ＝０，ｄ＝１とおくと
ｚ’＝ｚ＋１
となるから，周期性とは有理変換によって不変，
ｆ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝ｆ（ｚ）
の特別な場合
ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）
にすぎないことがわかる．
有理変換によって不変な関数は存在し「保型関数」と呼ばれている．とはいっても
ｆ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝ｆ（ｚ）
では条件が厳しすぎるので，ある程度のずれは許すことにして，
ｆ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝（ｃｚ＋ｄ）^2ｆ（ｚ）
を重さ２の保型形式という．
（その２）では楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3−ｘ （ｍｏｄ ｐ）の整数点の個数をＮpとすると，重さ２の保型関数のｑ展開
F(z)=qΠ(1-q^4n)^2(1-q^8n)^2=q-2q^5-3q^9+6q^13+2q^17-q^25-10q^29+･･･=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
がＮp＋c(p)＝ｐという関係をもつことをみた．
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【１】もうひとつの重さ２の保型形式
デデキントのイータ関数，
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
において，関数
F(z)=η(z)^2η(11z)^2
=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7+･･･
=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
を考える．c(n)はF(z)のフーリエ係数である．
F(z)は，
ad-bc=1,c=0(mod 11すなわち１１の倍数)
なる任意の整数a,b,c,dに対して
F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)
を満たすから，F(z)は重さ２の保型関数である．
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【２】ｙ^2±ｙ＝ｘ^3−ｘ^2 on Ｆp
Ｆpでの整数点の個数Ｎpは，
Np=0
for x=0 to p-1
for y= 0 to p-1
a=y*y+/-y-x*x*x+x*x
if (a mod p)=0 then Np=Np+1
next y
next x
のようなプログラムを組むだけで簡単に求めることができて，
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ４ ４ ４ ９ １０ ９ １９ １９ ２４
素数だけに注目して，Ｎpとc(p)をひとつの表にすれば
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ４ ４ ４ ９ １０ ９ １９ １９ ２４
c(p)−２ −１ １ −２ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
であるから，Ｎp＋c(p)＝ｐという関係が成り立つようにみえる．表の残りを埋めてみよう．
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【３】ｑ展開
F(q)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
において，ｎ＝１の場合の因子をΠの前にだす．２５次以上の項は省略してＱ25と書くことにすると，
F(q)=q(1-q)^2(1-q^11)^2Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
=q(1-2q+q^2)(1-2q^11+q^22)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
=(q-2q^2+q^3-2q^12+4q^13-2q^14+q^23-2q^24+Q25)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
ｎ＝２の場合の因子をΠの前にだす．
F(q)=(q-2q^2+q^3-2q^12+4q^13-2q^14+q^23-2q^24+Q25)(1-q^2)^2(1-q^22)^2Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
=(q-2q^2+q^3-2q^12+4q^13-2q^14+q^23-2q^24+Q25)(1-2q^2+q^4)(1-2q^22+Q25)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
=(q-2q^2+q^3-2q^12+4q^13-2q^14+q^23-2q^24+Q25)(1-2q^2+q^4-2q^22+4q^24+Q25)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
=(q-2q^2-q^3+4q^4-q^5-2q^6+q^7-2q^12+4q^13+2q^14-8q^15+2q^16+4q^17-2q^18-q^23+2q^24+Q25)Π(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
以下，ｎ＝３，４，５，・・・の場合の因子をΠの前にだすという根気のいる計算が続く．結局，手計算はあきらめて阪本ひろむ氏にmathematicaで計算してもらうことになった．
F(q)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2
=q-2q^2-q^3+2q^4+q^5+2q^6-2q^7-2q^9-2q^10+q^11-2q^12+4q^13+4q^14-q^15-4q^16-2q^17+4q^18+2q^20+2q^21-2q^22-q^23-4q^25-8q^26+5q^27-4q^28+2q^30+･･･
この結果，
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ４ ４ ４ ９ １０ ９ １９ １９ ２４
c(p)−２ −１ １ −２ １ ４ −２ ０ −１であるから，Ｎp＋c(p)＝ｐという関係が成り立つことが確かめられた．
F(z)のフーリエ係数c(n)を使って，ディリクレ級数
φ(s)=Σc(n)/n^s
を定義する．ディリクレ級数はリーマンのゼータ関数
ζ(s)=Σ1/n^s
を一般化したものである．ラマヌジャンは，このとき，
L(s;Ｅ)=φ(s)
を予想している．
この予想は，１９５４年，アイヒラーが楕円曲線：ｙ^2±ｙ＝ｘ^3−ｘ^2のゼータ関数と保型形式：F(z)=qΠ(1-q^n)^2(1-q^11n)^2のゼータ関数が，すべての素数に対して一致することを示すことによって解決されたのである（アイヒラー・井草）．
アイヒラーが示したラマヌジャン予想「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」は，ゼータの統一の先駆けであったのだが，これは谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）の特別な場合に相当している．
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【４】整数点の分布と佐藤ｓｉｎ^2予想
解の個数Ｎpについては，
ｐ＋１−２√ｐ＜Ｎp＜ｐ＋１＋２√ｐ
を満たすことが証明されています（ハッセの定理，１９３３年）．ハッセの不等式は，有限体上の曲線に対するリーマン予想とも呼ばれるものです．解の個数の平均はＮp＝ｐ＋１通り，また，誤差項Ｍpはｐに比べて小さく，｜Ｍp｜≦２√ｐで，Ｎpは各素数ｐごとにてんでんばらばらになっておらず，そこにはある秩序が存在しているというわけです．
また，佐藤予想とは楕円曲線Ｃの位数の分布に関するもので，Ｃが虚数乗法をもたないとき，
ｃｏｓθp＝（Ｎp−ｐ−１）／２√ｐ＝Ｍp／２√ｐ
の偏角θpが，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，［ａ，ｂ］となる素数密度：
＃｛ｐ≦ｘ；ａ＜θp＜ｂ｝／π（ｘ） 〜 2/π∫(a,b)sin^2θdθ
すなわち，その角分布はｓｉｎ^2θに比例するであろうというものです．
佐藤予想には，多くの言い換えがあって，
(1)ｘ^2＋Ｍpｘ＋ｐ＝０
の解を
√ｐ（ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ）
とするとき，その角分布はｓｉｎ^2θに比例する
(2)Ｍp／２√ｐが√（１−ｘ^2）に比例する
(3)ハミルトンの４元数環（フルヴィッツの整数）：（ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ）／２の半径ｐの格子点３次元球面：ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝４ｐの一様分布の実軸方向への射影である
といっても同じことです．
佐藤予想はリーマン予想に匹敵する予想であるといわれていました．ところが，驚いたことに２００６年になってハーバード大学のリチャード・テイラーによって佐藤予想の楕円曲線版（佐藤・テイト予想と呼ばれる）が証明されました．佐藤・テイト予想は定理になったというわけですが，佐藤予想そのものの証明ではないにせよ，１００年に一度の大発展といえるのです．→コラム「佐藤ｓｉｎ^2予想」参照
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