ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ （４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）
を楕円曲線と定義することにする．４ａ^3＋２７ｂ^2≠０は重根をもたないための条件である．ｙ^2＝ｘ^3やｙ^2＝ｘ^2（ｘ＋１）は重根をもつから楕円曲線ではないが，
ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）
は重根にはならないから楕円曲線である．
楕円曲線にはアーベル群の構造がはいる．そして，ｙ^2＝ｘ^3−ｘの有理点は点（０，０）（±１，０）のみである．実は，命題「ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4をみたす自然数は存在しない」は命題「ｙ^2＝ｘ^3−ｘの有理数解は（ｘ，ｙ）＝（０，０），（±１，０）のみである」に帰着できる．ｘ^4＝ｚ^4−ｙ^4の両辺にｚ^2／ｙ^6をかければ
（ｘ^2ｚ／ｙ^3）^2＝（ｚ^2／ｙ^2）^3−（ｚ^2／ｙ^2）
したがって，ｘ^4＋ｙ^4＝ｚ^4をみたす自然数は存在しないのである．
今回のコラムでは，
［参］結城浩「数学ガール（フェルマーの最終定理）」ソフトバンク
にしたがって，ｍｏｄ ｐの世界すなわち有限体
Ｆp＝｛０，１，，・・・，ｐ−２，ｐ−１｝
を考え，楕円曲線
ｙ^2＝ｘ^3−ｘ＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）
に限定して，
ｙ^2＝ｘ^3−ｘ （ｍｏｄ ｐ）
を満たす整数点（ｘ，ｙ）を探し出すことにする．有限体の位数は有限であるが，素数ｐは無数にあるからＦpは無数にあることになる．
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【１】有限体上の因数分解
ｘ^2＋３ｘ＋２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）
は整数係数のおなじみの因数分解の問題であるが，足して３，掛けて２となる２数を見つければよい．１と２がこれを満たすわけであるから，答えは右辺のようになる．
それでは，以下の例はどうであろうか？
ｘ^2＋４＝（ｘ＋１）（ｘ＋４）
ｘ^2＋２ｘ＋２＝（ｘ＋３）（ｘ＋４）
一見分解できなさそうに見える左辺が，右辺のように１次式の積として表されているのだから明らかな誤りと映るに違いない．ところがこれが正しいのである．
そんな馬鹿なと思われるかもしれないが，実はこの因数分解のトリックは「有限体」にある．整数や有理数，実数や複素数の元は無限個あり，演算規則が定義されている．整数は環をなし，有理数，実数，複素数，４元数，ｐ進数は体をなす．このことから，体の定義を思い出してほしいのだが，０以外の元が常に乗法に関する逆元をもつ数体系を「体」という．そして，有限個の元と体の構造をもつ数体系が「有限体」である．
なお，代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４＝２^2，５の体は存在するが，位数６＝２×３の体は存在しない．そして，位数７，８＝２^3，９＝３^2の体は存在して，位数１０＝２×５のものは存在しない．
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【２】ｙ^2＝ｘ^3−ｘ on Ｆ2
Ｆ2で（ｘ，ｙ）の組み合わせは（０，０），（０，１），（１，０），（１，１）の４通りである．また，演算表は
（＋） （×）
ｘ＼ｙ ０ １ ｘ＼ｙ ０ １
０ ０ １ ０ ０ ０
１ １ ０ １ ０ １
となる．
−がはいると面倒だから，ｙ^2＋ｘ＝ｘ^3で確かめることにすると
（０，０）→○
（０，１）→×
（１，０）→○
（１，１）→×
すなわち，Ｆ2において楕円曲線上の整数点は（０，０），（１，０）の２個である．
ところで，Ｆ2ではｘ＋１はｘ−１に置き換えられるからｘ^3−ｘはｘ（ｘ−１）^2と因数分解される．重根をもつからｙ^2＝ｘ^3−ｘは楕円曲線ではない．
重根がない場合はよい還元であるが，悪い還元（重根をもつ場合）であっても２重根の範囲にとどまるならばｐで乗法的還元をもつ，３重根になるならｐで加法的還元をもつという．そして，どの素数ｐで還元してもよい還元または乗法的還元しかもたないとき，その楕円曲線を半安定な楕円曲線と呼ぶ．すなわち，半安定な楕円曲線とはどの素数ｐで還元しても高々２重根どまりの楕円曲線のことである．
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【３】ｙ^2＝ｘ^3−ｘ on Ｆ3
Ｆ3での演算表は
（＋） （×）
ｘ＼ｙ ０ １ ２ ｘ＼ｙ ０ １ ２
０ ０ １ ２ ０ ０ ０ ０
１ １ ２ ０ １ ０ １ ２
２ ２ ０ １ ２ ０ ２ １
９点について，ｙ^2＋ｘ＝ｘ^3で確かめることにすると
（０，０）→○ （０，１）→× （０，２）→×
（１，０）→○ （１，１）→× （１，２）→×
（２，０）→○ （２，１）→× （２，２）→×
Ｆ3において楕円曲線上の整数点は（０，０），（１，０），（２，０）の３個である．また，Ｆ3でｙ^2＝ｘ^3−ｘは楕円曲線（よい還元）である．
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【４】ｙ^2＝ｘ^3−ｘ on Ｆp
演算表は割愛するが，Ｆ5において楕円曲線上の整数点は（０，０），（１，０），（４，０），（２，１），（３，２），（３，３），（２，４）の７個である．また，Ｆ5でｙ^2＝ｘ^3−ｘは楕円曲線（よい還元）である．
以下，Ｆpでの整数点の個数をＮpとすると
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ２ ３ ７ ７ １１ ７ １５ １９ ２３
となる．
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【５】重さ２の保型形式
q=exp(2πiz)とおいて，関数
F(z)=qΠ(1-q^4n)^2(1-q^8n)^2=q-2q^5-3q^9+6q^13+2q^17-q^25-10q^29+･･･
=c(n)q^n,q=exp(2πiz)
を考えます．c(n)はF(z)のフーリエ係数です．
ｎ １ ５ ９ １３ １７ ２５ ２９
c(n) １ −２ −３ ６ ２ −１ −１０
F(z)は，モジュラー
ad-bc=1,c=0(mod 32，すなわち３２の倍数)
なる任意の整数a,b,c,dに対して
F(az+b/cz+d)=(cz+d)^2F(z)
を満たします．このとき，F(z)は重さ２の保型形式をもつといいます．とくに，
a=1,b=1,c=0,d=1
のとき，F(z+1)=F(z)となって，実軸方向に周期１の関数になっていることがわかります．
素数だけに注目して，Ｎpとc(p)をひとつの表にすれば
ｐ ２ ３ ５ ７ １１ １３ １７ １９ ２３
Ｎp ２ ３ ７ ７ １１ ７ １５ １９ ２３
c(p) ０ ０ −２ ０ ０ ６ ２ ０ ０
すなわち，
Ｎp＋c(p)＝ｐ
という関係があることがわかります．Ｎｐは楕円曲線からの数列，c(p)は保型形式からの数列というまったく違った由来をもっているのに深いところで関連があるというわけです．このような対応がすべての楕円曲線について存在するというのが谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）です．
こみいった話になるのですが，F(z)のフーリエ係数c(n)を使って，ディリクレ級数
φ(s)=Σc(n)/n^s
を定義します．ディリクレ級数はリーマンのゼータ関数
ζ(s)=Σ1/n^s
を一般化したものです．そして，楕円曲線Ｅに対してよい還元になる素数を使って，代数的ゼータ
L(s;Ｅ)=Π(1-c(p)p^(-s)+p^(1-2s))^(-1)
を定義します．一方，解析的ゼータを
L(s;Ｆ)=Σc(n)/n^s=Σc(n)q^n
で定義します．このとき，すべての素数に対して「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」が成り立つというのが谷山予想（谷山・志村・ヴェイユ予想）です．
ａ^p＋ｂ^p＝ｃ^pを満たすような半安定な楕円曲線：
ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ^p）（ｘ−ｂ^p）
が保型関数によってパラメトライズできないことの証明がフェルマーの最終定理の証明に繋がるのですが，ワイルズは「半安定」なという制限付きの谷山予想を証明することによってフェルマーの最終定理が解決しました．すなわち，楕円曲線の有理点の有無ではなく，楕円曲線そのものが存在しないことを示したというわけです．その後，谷山予想は１９９９年に完全に証明され，定理となりました．
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