１６^3+５０^3+３３^3=１６５０３３

の場合，５０を固定すると

　　（ａ−１）^3＋５０^3＋（５０−ａ）^3

＝（ａ−１）^3＋２・５０^3−３ａ・５０^2＋３ａ^2・５０−ａ^3

＝−３ａ^2＋３ａ−１＋２・５０^3−３ａ・５０^2＋３ａ^2・５０

＝３ａ^2・４９−３ａ（５０^2−１）＋２・５０^3−１

＝３ａ^2・４９−３ａ・５１・４９＋２・５０^3＋１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋２・５０^3−１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋２・１２５・１０^3−１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋２５・１０^4−１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋５０１・４９９

　これが

　　（ａ−１）・１０^4＋５０・１０^2＋５０−ａ

＝（ａ・１０１−５０）・９９

に等しい．

　１≦ａ≦５０として，

　３・４９ａ（ａ−５１）＋２５・１０^4−１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋２５（１０^4−１）＋２４

　ｍｏｄ９９を調べると，

　　３・４９ａ（ａ−５１）＋２４＝０　　（ｍｏｄ９９）

　　４９ａ（ａ−５１）＋８＝０　　（ｍｏｄ９９）

　ａ＝１７はこれを満たすが，他にはないだろうか？

　１≦ａ≦５０では１７，３４

　ａ＞５０では６１，８９，１１６，・・・

　ａ＝１７，３４では

　　（ａ−１）^3＋５０^3＋（５０−ａ）^3

は同形になる．

　　ａ＝６１では，１０^3＋５０^3−１１^3＝１２４６６９

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