１６６６^3+５０００^3+３３３３^3=１６６６５０００３３３３

の場合，右辺の先頭桁は１６６６から決定されるのではなく，５０００に負っている．末尾桁は３３３３だけでなく，１６６６にも負っている．

　したがって，３乗保型数だけでは解決しない問題である．手がかりは

　　１６６６＋５０００＋３３３３＝９９９９

　　１６６６＋３３３３＝４９９９

ということになるのだろう．

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１６^3+５０^3+３３^3=１６５０３３

の場合，５０を固定すると

　　（ａ−１）^3＋５０^3＋（５０−ａ）^3

＝（ａ−１）^3＋２・５０^3−３ａ・５０^2＋３ａ^2・５０−ａ^3

＝−３ａ^2＋３ａ−１＋２・５０^3−３ａ・５０^2＋３ａ^2・５０

＝３ａ^2・４９−３ａ（５０^2−１）＋２・５０^3−１

＝３ａ^2・４９−３ａ・５１・４９＋２・５０^3＋１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋２・５０^3−１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋２・１２５・１０^3−１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋２５・１０^4−１

＝３・４９ａ（ａ−５１）＋５０１・４９９

　これが

　　（ａ−１）・１０^4＋５０・１０^2＋５０−ａ

＝ａ（１０^4−１）−１０^4＋５０（１０^2＋１）

＝ａ・１０１・９９−２・５０・１０^2＋５０（１０^2＋１）

＝ａ・１０１・９９−５０・１０^2＋５０

＝ａ・１０１・９９−５０・１１・９

＝ａ・１０１・９９−５０・９９

＝（ａ・１０１−５０）・９９

に等しい．

　ｍｏｄ９９を調べるにしても，そのあと，どうするか？

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