素数ｐが２または４ｎ＋１型素数のときに限り，

　　ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

ガウス整数として因数分解できる．

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

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　ここでは，４ｎ＋３型素数はガウス素数であることを示しておきたい．

　　ｐ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）

とガウス素数の積に分解されるとすると

　　Ｎ（ａ＋ｂｉ）Ｎ（ｃ＋ｄｉ）＝ｐ^2

であるから，

　　Ｎ（ａ＋ｂｉ）＝Ｎ（ｃ＋ｄｉ）＝ｐ

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｐ＝３　　（ｍｏｄ４）

でなければならない．

　しかし，（奇数）^2＝１，（偶数）^2＝１　　（ｍｏｄ４）であるから

　　ａ^2＋ｂ^2＝０，１，２　　（ｍｏｄ４）

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