三角形の外接球，内接球の半径をＲ，ｒとすれば，

　　ａｓｉｎＡ／２＝ｂｓｉｎＢ／２＝ｃｓｉｎＣ／２＝ｒ

　　ｘ＝Ｒ（１−ｃｏｓＣ）＝２Ｒｓｉｎ^2Ｃ／２＝２Ｒ（ｒ／ｃ）^2

　　ｙ＝Ｒ（１−ｃｏｓＡ）＝２Ｒｓｉｎ^2Ａ／２＝２Ｒ（ｒ／ａ）^2

　　ｚ＝Ｒ（１−ｃｏｓＢ）＝２Ｒｓｉｎ^2Ｂ／２＝２Ｒ（ｒ／ｂ）^2

より

　　ｘｙｚ＝（２Ｒｒ^2）^3／（ａｂｃ）^2・・・ここに間違いがあった．すなわち，（その３２）の初っ端から躓いていたことになる．

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　　Ａ＝２ＲｓｉｎＡ，Ｂ＝２ＲｓｉｎＢ，Ｃ＝２ＲｓｉｎＣ

　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２Ｒ（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ）

　　ＡＢＣ＝８Ｒ^3ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ

　　ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝４ｃｏｓＡ／２ｃｏｓＢ／２ｃｏｓＣ／２

　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２Ｒ（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ）

＝８ＲｃｏｓＡ／２ｃｏｓＢ／２ｃｏｓＣ／２

　　Ｒｒ^2＝ＡＢＣ△／（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）^2

に代入すると，

　　Ｒｒ^2＝８Ｒ^3ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ△／６４Ｒ^2ｃｏｓ^2Ａ／２ｃｏｓ^2Ｂ／２ｃｏｓ^2Ｃ／２

＝△ＲｔａｎＡ／２ｔａｎＢ／２ｔａｎＣ／２

　　ｔａｎＡ／２＝２ｒ／（Ｂ＋Ｃ−Ａ）

より

　　ｔａｎＡ／２ｔａｎＢ／２ｔａｎＣ／２

＝２ｒ／（Ｂ＋Ｃ−Ａ）・２ｒ／（Ｃ＋Ａ−Ｂ）・２ｒ／（Ａ＋Ｂ−Ｃ）

＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ^3／２△^2

　　Ｒｒ^2＝Ｒｒ^3（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）／２△

となるが，

　　ＡＢＣ／４△＝Ｒ，ｒ＝２△／（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）

　　Ｒｒ^2＝ＡＢＣ△／（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）^2

と合致する．

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→ａｃｏｓＡ／２＝（Ｂ＋Ｃ−Ａ）／２

　ｂｃｏｓＢ／２＝（Ｃ＋Ａ−Ｂ）／２

　ｃｃｏｓＣ／２＝（Ａ＋Ｂ−Ｃ）／２

　　ａｓｉｎＡ／２＝ｂｓｉｎＢ／２＝ｃｓｉｎＣ／２＝ｒ

より，

　　（ａｂｃ）^2ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ／８

＝ｒ^3（Ｂ＋Ｃ−Ａ）（Ｃ＋Ａ−Ｂ）（Ａ＋Ｂ−Ｃ）／８

＝２ｒ^3△^2／（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）

　　ＡＢＣ／６４Ｒ^3＝ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ／８

より，

　　（ａｂｃ）^2＝１２８Ｒ^3ｒ^3△^2／ＡＢＣ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）

　　ｘｙｚ＝（２Ｒｒ^2）^3／（ａｂｃ）^2

　　ａｂｃ＝８ｘｙｚ

を証明するためには

　　（ａｂｃ）^3／８＝（２Ｒｒ^2）^3

　　ａｂｃ＝４Ｒｒ^2

がいえればよい．

　　（ａｂｃ）^2＝１２８Ｒ^3ｒ^3△^2／ＡＢＣ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）

に

　　ＡＢＣ＝４Ｒ△，（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ＝２△

を代入すると

　　（ａｂｃ）^2＝１２８Ｒ^3ｒ^4△^2／４Ｒ△・２△

　　（ａｂｃ）^2＝１６Ｒ^2ｒ^4

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［まとめ］やっと代数的にも証明できた．やれやれ．

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