三角関数を中心に整理し直すと

　　ａｓｉｎＡ／２＝ｂｓｉｎＢ／２＝ｃｓｉｎＣ／２＝ｒ

　　Ａ＝ｂｃｏｓＢ／２＋ｃｃｏｓＣ／２

　　Ｂ＝ｃｃｏｓＣ／２＋ａｃｏｓＡ／２

　　Ｃ＝ａｃｏｓＡ／２＋ｂｃｏｓＢ／２

→ａｃｏｓＡ／２＝（Ｂ＋Ｃ−Ａ）／２

　ｂｃｏｓＢ／２＝（Ｃ＋Ａ−Ｂ）／２

　ｃｃｏｓＣ／２＝（Ａ＋Ｂ−Ｃ）／２

　　Ａ＝ＢｃｏｓＢ＋ＣｃｏｓＣ

　　Ｂ＝ＣｃｏｓＣ＋ＡｃｏｓＡ

　　Ｃ＝ＡｃｏｓＡ＋ＢｃｏｓＢ

→ＡｃｏｓＡ＝（Ｂ＋Ｃ−Ａ）／２＝ａｃｏｓＡ／２

　ＢｃｏｓＢ＝（Ｃ＋Ａ−Ｂ）／２＝ｂｃｏｓＢ／２

　ＣｃｏｓＣ＝（Ａ＋Ｂ−Ｃ）／２＝ｃｃｏｓＣ／２

　　Ａ／ｓｉｎＡ＝Ｂ／ｓｉｎＢ＝Ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒ

→ｓｉｎＡ＝２Ｒ／Ａ，ｓｉｎＢ＝２Ｒ／Ｂ，ｓｉｎＣ＝２Ｒ／Ｃ

または

　　２△＝ＡＢｓｉｎＣ＝ＢＣｓｉｎＡ＝ＣＡｓｉｎＢ

→ｓｉｎＡ＝２△／ＢＣ，ｓｉｎＢ＝２△／ＣＡ，ｓｉｎＣ＝２△／ＡＢ

　　Ａ^2＝Ｂ^2＋Ｃ^2−２ＢＣｃｏｓＡ

　　Ｂ^2＝Ｃ^2＋Ａ^2−２ＣＡｃｏｓＢ

　　Ｃ^2＝Ａ^2＋Ｂ^2−２ＡＢｃｏｓＣ

→ｃｏｓＡ＝｛（Ｂ^2＋Ｃ^2−Ａ^2）／２ＢＣ｝^1/2

　ｃｏｓＢ＝｛（Ｃ^2＋Ａ^2−Ｂ^2）／２ＣＡ｝^1/2

　ｃｏｓＣ＝｛（Ａ^2＋Ｂ^2−Ｃ^2）／２ＡＢ｝^1/2

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　　ｔａｎＡ／２ｔａｎＢ／２ｔａｎＣ／２

＝２ｒ／（Ｂ＋Ｃ−Ａ）・２ｒ／（Ｃ＋Ａ−Ｂ）・２ｒ／（Ａ＋Ｂ−Ｃ）

となって，ここまで来るとどうしてもヘロンの公式を使わざるを得ないように思われる．

　ヘロンの公式とは、

Δ^2＝（２Ａ^2Ｂ^2＋２Ｂ^2Ｃ^2＋２Ｃ^2Ａ^2−Ａ^4−Ｂ^4−Ｃ^4）／１６

　　＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）（−Ａ＋Ｂ＋Ｃ）（Ａ−Ｂ＋Ｃ）（Ａ＋Ｂ−Ｃ）／１６

ここで、２ｓ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃとおくと

Δ^2＝ｓ（ｓ−Ａ）（ｓ−Ｂ）（ｓ−Ｃ）

となり、おなじみの平面三角形のヘロンの公式が得られる．

　　ｔａｎＡ／２ｔａｎＢ／２ｔａｎＣ／２

＝２ｒ／（Ｂ＋Ｃ−Ａ）・２ｒ／（Ｃ＋Ａ−Ｂ）・２ｒ／（Ａ＋Ｂ−Ｃ）

＝（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ^3／２△^2

Ｒ／ｒ^2＝２Ｒ^3（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ^3／△

となるが，

　　ＡＢＣ＝４Ｒ△，（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ＝２△

より，

Ｒ／ｒ^2＝２（ＡＢＣ／４△）^3（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）（２△／（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）^3／△＝（ＡＢＣ）^3／４△（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）^2

　（その１）では

　　Ｒ／ｒ^2＝ＡＢＣ△／（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）^2

・・・どこかで間違ったようだ．

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［まとめ］ケプラー三角形の問題では，微分を使わないで極値問題を解くことが要請されていたが，この問題でもヘロンの公式を使わないのは無理があるようである．ここで仕切り直し．

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