三角形の３辺の長さをＡ，Ｂ，Ｃ，面積を△，外接球，内接球の半径をＲ，ｒとすれば，

　　ＡＢＣ＝４Ｒ△，（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ＝２△

さらに，

　　ｓ1＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ，ｓ2＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ，ｓ3＝ＡＢＣ

とおくこともである．（その３２）では

　　Ａ＝２ＲｓｉｎＡ，Ｂ＝２ＲｓｉｎＢ，Ｃ＝２ＲｓｉｎＣ

を忘れていたようだ．

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　　Ａ＝２ＲｓｉｎＡ，Ｂ＝２ＲｓｉｎＢ，Ｃ＝２ＲｓｉｎＣ

　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２Ｒ（ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ）

　　Ａ＝ｂｃｏｓＢ／２＋ｃｃｏｓＣ／２

　　Ｂ＝ｃｃｏｓＣ／２＋ａｃｏｓＡ／２

　　Ｃ＝ａｃｏｓＡ／２＋ｂｃｏｓＢ／２

　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２ａｃｏｓＡ／２＋２ｂｃｏｓＢ／２＋２ｃｃｏｓＣ／２

　　ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝４ｃｏｓＡ／２ｃｏｓＢ／２ｃｏｓＣ／２

　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝８ＲｃｏｓＡ／２ｃｏｓＢ／２ｃｏｓＣ／２

＝２ａｃｏｓＡ／２＋２ｂｃｏｓＢ／２＋２ｃｃｏｓＣ／２

　　ＡＢＣ＝８Ｒ^3ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ

　ここまできたが，どうしてもヘロンの公式に頼らざるを得ないかもしれないが，もう少し我慢して，

　　Ｒ／ｒ^2＝ＡＢＣ△／（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）^2

に代入すると，

　　Ｒ／ｒ^2＝８Ｒ^3ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ△／１６ｃｏｓ^2Ａ／２ｃｏｓ^2Ｂ／２ｃｏｓ^2Ｃ／２

＝４△Ｒ^3ｔａｎＡ／２ｔａｎＢ／２ｔａｎＣ／２　　（ここでひと休み）

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