中川宏さんに教えてもらった（その３０）の問題は

　　ａｂｃ＝８ｘｙｚ

という非常にきれいな結果が目を惹くものであった．自分なりに解いてみたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　三角形の外接球，内接球の半径をＲ，ｒとすれば，

　　ａｓｉｎＡ／２＝ｂｓｉｎＢ／２＝ｃｓｉｎＣ／２＝ｒ

　　ｘ＝Ｒ（１−ｃｏｓＣ）＝２Ｒｓｉｎ^2Ｃ／２＝２Ｒ（ｃ／ｒ）^2

　　ｙ＝Ｒ（１−ｃｏｓＡ）＝２Ｒｓｉｎ^2Ａ／２＝２Ｒ（ａ／ｒ）^2

　　ｚ＝Ｒ（１−ｃｏｓＢ）＝２Ｒｓｉｎ^2Ｂ／２＝２Ｒ（ｂ／ｒ）^2

より

　　ｘｙｚ＝（ａｂｃ）^2（２Ｒ／ｒ^2）^3

　しかし，この先が続かない．無理矢理続けるならば，３辺の長さをＡ，Ｂ，Ｃで表すと

　　Ｃ＝２（２Ｒｘ−ｘ^2）^1/2

　　Ｂ＝２（２Ｒｚ−ｚ^2）^1/2

　　Ａ＝２（２Ｒｙ−ｙ^2）^1/2

あるいは

　　Ａ＝ｂｃｏｓＢ／２＋ｃｃｏｓＣ／２

　　Ｂ＝ｃｃｏｓＣ／２＋ａｃｏｓＡ／２

　　Ｃ＝ａｃｏｓＡ／２＋ｂｃｏｓＢ／２

あるいは

　　Ａ＝ＢｃｏｓＢ＋ＣｃｏｓＣ

　　Ｂ＝ＣｃｏｓＣ＋ＡｃｏｓＡ

　　Ｃ＝ＡｃｏｓＡ＋ＢｃｏｓＢ

　　Ａ／ｓｉｎＡ＝Ｂ／ｓｉｎＢ＝Ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒ

　　Ａ^2＝Ｂ^2＋Ｃ^2−２ＢＣｃｏｓＡ

　　Ｂ^2＝Ｃ^2＋Ａ^2−２ＣＡｃｏｓＢ

　　Ｃ^2＝Ａ^2＋Ｂ^2−２ＡＢｃｏｓＣ

　　ＡＢＣ＝２Ｒ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）ｒ

　　ＡＢＣ／４△＝Ｒ，（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）／２△＝ｒ

　　Ｒ／ｒ^2＝ＡＢＣ△／（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）^2

　　２△＝ＡＢｓｉｎＣ＝ＢＣｓｉｎＡ＝ＣＡｓｉｎＢ

と等式の羅列になる．

　三角形の面積をｘ，ｙ，ｚで表してみると，

　　（Ｒ−ｘ）（２Ｒｘ−ｘ^2）^1/2＋（Ｒ−ｙ）（２Ｒｙ−ｙ^2）^1/2＋（Ｒ−ｚ）（２Ｒｚ−ｚ^2）^1/2＝△

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　また，以下の等式が利用できるかもしれない．

　任意の三角形に対して

　　ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ

が成り立つ．

　この式は

　　γ＝π−（α＋β）

として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明される．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられる．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではないが，きっと多くの人の美意識にも訴えるに違いない（希望）．

　同様に，任意の三角形に対して

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝４ｃｏｓα／２ｃｏｓβ／２ｃｏｓγ／２

　　ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝４ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ

　　ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ３β＋ｓｉｎ３γ＝−４ｃｏｓ３α／２ｃｏｓ３β／２ｃｏｓ３γ／２

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝１＋４ｓｉｎα／２ｓｉｎβ／２ｓｉｎγ／２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝