フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．

　この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　フィボナッチの等式，あるいは，ピタゴラス三角形のパラメータ解

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

を使って，４平方和問題

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の別のパラメータ解を求めることはできないものでしょうか？

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　４平方和問題

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと成り立ち，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示しています．さらに，任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せるというわけです．

　また，フィボナッチの等式は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができることを示しています．たとえば，

　　５０＝５・１０

　　５＝１^2＋２^2，１０＝１^2＋３^2

より，

　　５０＝（１・１＋２・３）^2＋（１・３−２・１）^2＝７^2＋１^2

　　５０＝（１・１−２・３）^2＋（１・３＋２・１）^2＝５^2＋５^2

　　６５＝５・１３

　　５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2

　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

となります．

　　ａ＝ｂまたはｃ＝ｄのときは，積はたった１通りの方法で２つの平方数の和になります．

　　１０＝２・５

　　２＝１^2＋１^2，５＝１^2＋２^2

　　１０＝（１・１＋１・２）^2＋（１・２−１・１）^2＝３^2＋１^2

　　１０＝（１・１−１・２）^2＋（１・２＋１・１）^2＝１^2＋３^2

　一方，ピタゴラス三角形は２つの平方数の和を，１つの平方数として表すことができることを示しています．

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