［参］加藤和也・黒川信重・斉藤毅「数論Ⅰ，Fermatの夢と類体論」岩波書店
によると
Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）
Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）^2＝π／２（ｅｘｐ（４π）＋４πｅｘｐ（２π）－１）／（ｅｘｐ（２π）－１）^2
の２つの公式は，
Σ(1,∞)１／ｎ^2＝π^2／６＝ζ(2)
Σ(1,∞)１／ｎ^4＝π^4／９０＝ζ(4)
のようにゼータ関数の値を直接表すものではないが，同様の世界に属していて，ζの香りが漂っているように思われるとコメントされている．
これらの式は
Σ(1,∞)１／（ａ^2＋ｎ^2）＝π／（２ａｔａｎｈ（ａπ））－１／（２ａ^2）
Σ(1,∞)１／（１＋ａ^2ｎ^2）^2＝π^2／（２ｓｉｎｈ（ｘ／ａ））^2＋π／（４ａｔａｎｈ（ｘ／ａ））－１／２
と等価である．→コラム「コーシー分布の離散化（その３）」参照
ところで，（その２５）において，杉岡幹生氏のフーリエ係数を求める計算システム（フーリエシステム）を紹介した．杉岡氏によるとこれらの「ζの香りの漂う公式」はテイラーシステムでは導出できないが，フーリエシステムを使って導き出すことができるという．今回のコラムでは杉岡氏の結果
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page175.htm
の概略だけでも示したいと思う．
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【１】Σ(1,∞)１／ｎ^k（１＋ｎ^2）
ｋ＝０の場合，２πを周期とする周期関数
f(x)=Σcos(nx)/(1+n^2)
を考えると，
1/(1+n^2)=1/π∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx
これを部分積分すると
1/(1+n^2)=1/π∫(-π,π)(Σksin(kx)/(1+k^2))sin(nx)/ndx
これを縦に足し合わせると
Σ1/(1+n^2)=1/π∫(-π,π)(Σksin(kx)/(1+k^2))Σsin(nx)/ndx
ここで，
Σksin(kx)/(1+k^2)=π/2･sinh(π-x)/sinhπ
Σsin(nx)/n=(π-x)/2
より，
Σ1/(1+n^2)=1/π∫(-π,π)π/2･sinh(π-x)/sinhπ･(π-x)/2dx
=π/2･(exp(2π)+1)/(exp(2π)-1)-1/2
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同様のことをｋ＝１の場合について考える．２πを周期とする周期関数
f(x)=Σsin(nx)/n(1+n^2)
に対して
1/n(1+n^2)=1/π∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx
これを部分積分すると
1/n(1+n^2)=1/π∫(-π,π)(Σcos(kx)/(1+k^2))cos(nx)/ndx
これを縦に足し合わせると
Σ1/n(1+n^2)=1/π∫(-π,π)(Σcos(kx)/(1+k^2))Σcos(nx)/ndx
ここで，
Σcos(kx)/(1+k^2)=π/2･cos(π-x)/sinhπ-1/2
Σcos(nx)/n=-log(2sin(x/2))
より，
Σ1/n(1+n^2)=∫(0,π)(1/π-cosh(π-x)/sinhπ･log(2sin(x/2))dx
となって，関数を閉じた形に表せないというのが杉岡氏の計算結果である．
Σ(1,∞)１／（１＋ｎ^2）
Σ(1,∞)１／ｎ（１＋ｎ^2）
について示したが，杉岡氏は一般に
Σ(1,∞)１／ｎ^k（１＋ｎ^2）
はｋが偶数のとき明示的に求められるが，奇数のときは関数を閉じた形に表せないだろうと述べている．すなわち，ζの奇偶性に対応することを主張しているのである．
さらに杉岡氏は
Σｎ^k／｛ｅｘｐ（２πｎ）－１｝
に対しても同じことがいえることを述べている．
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【２】Σｎ^k／｛ｅｘｐ（２πｎ）－１｝
ラマヌジャンは保型形式を用いて，たとえば，
Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504
Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π
Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240
Σ1/n{exp(2πn)-1}=-π/12-1/2log(ω/√2π)
を証明している．ここで，πとωはそれぞれ，
π＝2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159･･･（円周率）
ω＝2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205･･･（レムニスケート周率）
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
である．
これらの等式は，ゼータ関数の積分表示
ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx
の離散化とみることができるが，この式はプランク分布（Bose-Einstein統計）そのものといってもよい．→コラム「プランク分布と量子化の概念」参照
さて，ラマヌジャンの計算の近似値を求めてみることにしよう．ベルヌーイ数｛Ｂn｝の指数型母関数
x/{exp(x)-1}=ΣBn/n!x^n
を使って，あるいは，
∫(0,∞)＝∫(0,1)＋∫(1,∞)
と分けて厳密に考察すべきなのであろうが，細かいことは気にせずに計算すると，
ζ(s)=1/Γ(s)∫(0,∞)x^(s-1)/{exp(x)-1}dx
において，ｘ＝２πｙとおくと，ｄｘ＝２πｄｙより，
∫(0,∞)y^(s-1)/{exp(2πy)-1}dy=ζ(s)Γ(s)/(2π)^s
これより，
Σn^(s-1)/{exp(2πn)-1} ～ ζ(s)Γ(s)/(2π)^s
ここで，ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，ζ(6)=π^6/945を代入すると，
Σn^5/{exp(2πn)-1}=1/504 ～ 1/504
Σn^3/{exp(2πn)-1}=1/80(ω/π)^4-1/240 ～ 1/240
Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π ～ 1/24
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【３】杉岡氏のアプローチ
２πを周期とする周期関数
f(x)=Σncos(nx)/{exp(2πn)-1}
に対して
ncos(nx)/{exp(2πn)-1}=1/π∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx
これを部分積分すると
n/{exp(2πn)-1}=1/π∫(-π,π)(Σk^2sin(kx)/{exp(2πk)-1}sin(nx)/ndx
これを縦に足し合わせると
Σn/{exp(2πn)-1}=1/π∫(-π,π)(Σk^2sin(kx)/{exp(2πk)-1}Σsin(nx)/ndx
ここで，
Σsin(nx)/n=(π-x)/2
Σk^2sin(kx)/{exp(2πk)-1}=g(x)
Σk/{exp(2πk)-1}=1/π∫(-π,π)g(x)(π-x)/2dx
である．関数g(x)の具体的な形はわからないが，Σn/{exp(2πn)-1}=1/24-1/8π（既知）であることから，1/π∫(-π,π)g(x)(π-x)/2dxの定積分値は求められることを示している．
それに対して，Σn^2/{exp(2πn)-1}の場合は，２πを周期とする周期関数
f(x)=Σn^2cos(nx)/{exp(2πn)-1}
に対して
n^2cos(nx)/{exp(2πn)-1}=1/π∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx
これを部分積分すると
n^2/{exp(2πn)-1}=1/π∫(-π,π)(Σk^3sin(kx)/{exp(2πk)-1}sin(nx)/ndx
これを縦に足し合わせると
Σn^2/{exp(2πn)-1}=1/π∫(-π,π)(Σk^3sin(kx)/{exp(2πk)-1}Σsin(nx)/ndx
ここで，
Σsin(nx)/n=(π-x)/2
Σk^3sin(kx)/{exp(2πk)-1}=g(x)
Σk^2/{exp(2πk)-1}=1/π∫(-π,π)g(x)(π-x)/2dx
であるが，Σn^2/{exp(2πn)-1}は未知であり，1/π∫(-π,π)g(x)(π-x)/2dxの定積分値は求められないことがわかる．
以上のことから，
Σｎ^k／｛ｅｘｐ（２πｎ）－１｝
はｋが奇数のとき明示的に求められるが，偶数のときは関数を閉じた形に表せず，この結果もζの奇偶性に対応していることを杉岡氏は主張しているのである．
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