［Ｑ］半径が１の内接円に外接する二等辺三角形がある．二等辺三角形の面積が最小のとき，三角形の高さを求めよ．

　この問題では二等辺三角形となっているが，面積が最小となるのは正三角形であろう．その場合，外接球の半径は２であるから，底辺の長さは２√３．したがって，正三角形の高さは３となる．

［Ｑ］半径が１の内接円に外接する二等辺三角形がある．二等辺三角形の辺の長さの和が最小のとき，三角形の高さを求めよ．

でも答えは同じである．

　それでは，中川宏さんからの問題

［Ｑ］半径が１の内接円に外接する二等辺三角形がある．二等辺三角形の等辺の長さが最小のとき，三角形の高さを求めよ．

ではどうなるだろうか？

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【１】ケプラー三角形

　答えを先にいうと，高さはτ^2＝２．６１８になる．正三角形よりわずかに背の低い二等辺三角形であるが，この二等辺三角形を２等分した三角形は３辺の長さ比が１：√τ：τの直角三角形（ケプラー三角形）として知られている．

　ケプラー三角形には，ピタゴラスの定理と黄金比という数学的に重要なコンセプトが２つ含まれている．

　この答えは微分を使って簡単に求められるのであるが，要請されているのは微分を使わない解法である．微分なしに済ませられる問題なのだろうか？＝相加平均・相乗平均不等式にもちこめる問題なのだろうか？

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