球の充填問題あるいは接触数の問題は結晶学・構造科学と直結する問題である．（その５０５）を補足しておきたい．

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　接触数について，ｎ＝１の場合は自明で２，ｎ＝２の場合は正三角形格子（Ａ3格子）状配列のとき６となる．

　ｎ＝３の場合は，ニュートンは同じ平面上に６，その上下に３個ずつで計１２を最大と信じた（これはＦＣＣあるいはＨＣＰの一部となる）．他方，グレゴリーは正２０面体の外接級の半径が１辺の長さよりわずかに短い０．９５１であることから，互いの隙間をうまく集めればもう１個置ける余裕ができるのではないかと考えた．

　これが難しいのは１２球の配置が一意でないことに負っている．その後，コンピュータを使って，中心からの距離が１以上，互いの距離も１以上という条件の下で１３球を配置すると中心からの最大距離の最小値は１．０２であることが確かめられた．

　８次元空間では，隣り合う２点間の距離がすべて１である格子（Ｅ8格子）ができる．コクセターは

　　α8＋２β8＝２π

を使って空間充填形を構成して，中心・頂点間距離が１／√２＜１，２／３＜１であることを確かめ，８元数がユークリッド域であることを代数的にではなく幾何学的に証明したのである．

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