【１】フィボナッチ数列

　初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となる数列

１，１，２，３，５，８，・・・

をフィボナッチ数列とよびます．

　その一般項Ｆn は，Ｆn ＝Ｆn-1 ＋Ｆn-2 で

Ｆn ＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］

　　＝１／√５｛φ^n−（−１／φ）^n｝

（Ｆ0 ＝０：φ＝（１＋√５）／２）

と表すことができます．

　この式は１７６５年にオイラーが初めて発表したものですが，みんなに忘れられていてそれを再発見したビネにちなんでビネの公式（１８４３年）と命名されています．整数の数列に無理数である√５や黄金比φが出現する不思議に驚かれた経験をお持ちの方の少なくないでしょう．ｎが大きくなるほど｛（１−√５）／２｝n は０に近づきますから，この項を無視するとフィボナッチ数列は黄金比を公比とする等比数列に次第に近づくことになります．

　また，フィボナッチ数列の各項はパスカルの三角形の対角線上の数の和に一致しています．この他にもフィボナッチ数は多くの性質をもっていて，以下にいくつか紹介しておきます．

Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n

Ｆ1 ＋Ｆ2 ＋Ｆ3 ＋・・・＋Ｆn ＝Ｆn+2 −１

Ｆ1 ＋Ｆ3 ＋Ｆ5 ＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n

Ｆ2 ＋Ｆ4 ＋Ｆ6 ＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１

Ｆ12＋Ｆ22＋Ｆ32＋・・・＋Ｆn2＝Ｆn ・Ｆn+1

　有名な幾何学的パラドックス＜６４ｃｍ^2＝６５ｃｍ^2＞は，「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも，パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルです．きっと，いろいろな本でみたことのある方も多いと思います．このトリックは一直線をなすように使われた２つの線分の傾き３／８，５／１３の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので，もっと先の数，たとえば８／２１とかを使えばより巧妙なトリックになります．公式Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n は，３つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の２つの数の積より１大きいか小さいかのどちらかで，このトリックパズルのもとになっています．

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【２】リュカ数列

　この数列にフィボナッチ（１３世紀のイタリアの数学者でピサのレオナルドとしても知られる）の名を冠したのはフランスの数学者リュカで，ハノイの塔の名で知られる２進法のパズルも１８８３年にリュカによって考案されたものです．

　初項１，第２項３のフィボナッチ数列

１，３，４，７，１１，１８，・・・

は彼にちなんでリュカ数列と呼ばれています（１８７７年）．リュカ数列の一般項Ｌn は，

Ｌn ＝｛（１＋√５）／２｝^n＋｛（１−√５）／２｝^n

　　＝｛φ^n＋（−１／φ）^n｝

（Ｌ0 ＝２：φ＝（１＋√５）／２）

で表され，Ｌn ＝Ｆn-1 ＋Ｆn+1 の関係があります．リュカ数列はフィボナッチ数列と同じ漸化式をもち，連続する２つの項の比は黄金比に近づきます．

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