オイラーは，弾性曲線の研究で積分
ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｘ^2ｄｘ／（ａ^2−ｘ^4）^1/2
によって与えられる弾性曲線の性質として，その原点から（ｘ，ｙ）までの弧長
ｓ（ｘ）＝∫(0,x)ａ^2ｄｘ／（ａ^2−ｘ^4）^1/2
について
ｆ（ａ）ｓ（ａ）＝πａ^2／４
であることを発見した．
今回のコラムでは，オイラーの積分
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx･∫(0,1)x^2/(1-x^4)^(1/2)dx=π/4
を求めてみることにするが，この関係は第１種楕円積分ｓ（ｘ）と第２種楕円積分ｆ（ｘ）の周期の間に成り立つルジャンドルの関係式をレムニスケートの場合に特殊化したものにほかならない．
f(x)=1/(1-x^2)^(1/2)
のとき，
sin^(-1)z=∫(0,z)f(x)dx
であるから，
2∫(0,1)f(x)dx=3.141592･･･=π
∫(0,1)f(x)dx=π/2
となる．それでは，
f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)
としたとき，
∫(0,1)f(x)dx=1.311028･･･=ω
は，どのようにすれば得られるのだろうか？
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【１】ガンマ関数・ベータ関数
Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt (t>0)
この無限積分をｘの関数とみてガンマ関数Γ(x)といいます．
Γ(1)=∫(0,∞)exp(-t)dt=1
Γ(1/2)=∫(0,∞)t^(-1/2)exp(-t)dt
ここで，t=u^2とおくと∫(0,∞)exp(-u^2/2）du=√π/2（ガウス積分）より
Γ(1/2)＝√π
が得られます．
オイラーの第２種積分とも呼ばれるガンマ関数Γ（ｘ）には，
Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）
の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．
Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････
したがって，ｘが正の整数ｎのときにはΓ（ｎ＋１）＝ｎ！が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのです．
ガンマ関数（オイラーの第２種積分）は，
Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt
ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，
B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt
によって定義されます．ここで，積分変数をｔからu=(1-t)/tによってuに変えると，
B(a,b)=∫(0,∞)u^(a-1)/(1+u)^(a+b)du (u:0-∞)
が得られます．また，ベータ関数とガンマ関数との間には，
B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
の関係がありますから，ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります．
Γ(1)＝１，Γ(1/2)＝√π
であることを知っていればたいてい間に合いますが，Γ(1/2)＝√πを得るにはベータ関数が用いられます．この関数において，t=sin^2θとおくと
dt=2sinθcosθdθ
ですから
B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ
ここで，a=1/2,b=1/2とすると
B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π
Γ^2(1/2)/Γ(1)=π
Γ(1)=1ですから，Γ(1/2)＝√πとなります．
ベータ関数を一般化すると，
∫(a,b)(x-a)^m(b-x)^ndx=m!n!/(m+n+1)!(b-a)^(m+n+1)
が得られます．これらは受験参考書に必ず書いてある
∫(a,b)(x-a)(x-b)dx=-1/6(b-a)^3
∫(a,b)(x-a)(x-b)^2 dx=1/12(b-a)^4
という公式の一般化になっています．
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【２】オイラーの積分
ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，
∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）
したがって，
(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２
(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２
(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
が得られます．
∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２
∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２
は初等的にも得ることができます．一方，
∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．
これらを，Γ^q（1/q）の形で統一的に表示すれば，
Γ^2（1/2）＝π＝２∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx
Γ^3（1/3）＝２^(4/3)３^(1/2)π∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx
Γ^4（1/4）＝２^5π（∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx）^2
なお，
∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
を得るには，ガンマ関数の乗法公式（倍数公式）
Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)
と相反公式（相補公式）
Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ
また，
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
を得るには乗法公式を用いています．
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(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ（1/4）√π／４Γ（3/4）
(m,n)=(3,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ（3/4）√π／４Γ（5/4）
が得られます．
ここで，Γ（5/4）＝Γ（1/4）/4ですから，
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx･∫(0,1)x^2/(1-x^4)^(1/2)dx=π/4
が成立します．
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［補］∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）
∫(0,∞)x^(m-1)/(1+x^n)dx=π／nｓｉｎ（mπ/n）
∫(0,1)x^(n-k-1)/(1-x^n)^((n-k)/n)dx=∫(0,∞)x^(n-k-1)/(1+x^n)dx
ここで，
(p,q)=∫(0,1)x^(p-1)(1-x^n)^((q-n)/n)dx
とおくと，
(p,q)=(q,p)
(n-k,k)=(k,n-k)=π／nｓｉｎ（kπ/n）
((p+n),q)=p(p,q)/(p+q)
ｎ＝３のとき，(2,1)=(1,2)は
∫(0,1)x/(1-x^3)^(2/3)dx=∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/3)dx=2π/3√3
ｎ＝４のとき，(3,1)=(1,3)は
∫(0,1)x^2/(1-x^4)^(3/4)dx=∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/4)dx=π/2√2
(2,2)は
∫(0,1)x/(1-x^4)^(2/4)dx=∫(0,1)x/(1-x^4)^(1/2)dx=π/4
ｎ＝６のとき，(5,1)=(1,5)は
∫(0,1)x^4/(1-x^6)^(5/6)dx=∫(0,1)1/(1-x^6)^(1/6)dx=π/3
(4,2)=(2,4)は
∫(0,1)x^3/(1-x^6)^(4/6)dx=∫(0,1)x^3/(1-x^6)^(2/3)dx
=∫(0,1)x/(1-x^6)^(2/6)dx=∫(0,1)x/(1-x^6)^(1/3)dx=π/3√3
(3,3)は
∫(0,1)x^5/(1-x^6)^(5/6)dx=∫(0,1)x^5/(1-x^6)^(1/6)dx=π/6
ｎ＝１７のとき，(16,1)=(1,16)は
∫(0,1)x^16/(1-x^17)^(16/17)dx=∫(0,1)1/(1-x^17)^(1/17)dx
=π/17sinπ/17
(p,q)=B(p/n,q/n)/n
であって，p+q=nの場合を考えると
(p,q)=π/nｓｉｎ(pπ/n)
B(p/n,1-p/n)=π/nｓｉｎ(pπ/n)
Γ(p/n)Γ(1-p/n)=π/nｓｉｎ(pπ/n)
これはガンマ関数の相補公式
Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ
にほかならない．
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