ｃｏｓｎπ／３＋（−１）^nｃｏｓ２ｎπ／３

は，ｎが偶数のとき

ｃｏｓｎπ／３＋ｃｏｓ２ｎπ／３＝２ｃｏｓｎπ／２・ｃｏｓｎπ／６

ｎ＝６ｒのとき，２ｃｏｓ２ｒπ・ｃｏｓｎπ／６

ｎ＝６ｒ＋２のとき，２ｃｏｓ（２ｒ＋１）π・ｃｏｓ（ｒ＋１／３）π

ｎ＝６ｒ＋４のとき，２ｃｏｓ（３ｒ＋１）π・ｃｏｓ（ｒ＋２／３）π

→これでは符号が定まらない．

ｎが奇数のとき

＝ｃｏｓｎπ／３−ｃｏｓ２ｎπ／３＝２ｓｉｎｎπ／２・ｓｉｎｎπ／６

ｎ＝６ｒ＋１のとき，２ｓｉｎ（３ｒ＋１／２）π・ｓｉｎ（ｒ＋１／６）π

ｎ＝６ｒ＋３のとき，２ｓｉｎ（３ｒ＋３／２）π・ｓｉｎ（ｒ＋３／６）π

ｎ＝６ｒ＋５のとき，２ｓｉｎ（３ｒ＋５／２）π・−２ｓｉｎ（ｒ＋５／６）π

→これでは符号が定まらない．

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ｃｏｓｎπ／３＋（−１）^nｃｏｓ２ｎπ／３

は，ｎが偶数のとき

ｃｏｓｎπ／３＋ｃｏｓ２ｎπ／３＝２ｃｏｓｎπ／２・ｃｏｓｎπ／６

ｎ＝４ｒのとき，２ｃｏｓｎπ／６

ｎ＝４ｒ＋２のとき，−２ｃｏｓｎπ／６

→これで符号は定まった．

ｎが奇数のとき

＝ｃｏｓｎπ／３−ｃｏｓ２ｎπ／３＝２ｓｉｎｎπ／２・ｓｉｎｎπ／６

ｎ＝４ｒ＋１のとき，２ｓｉｎｎπ／６

ｎ＝４ｒ＋３のとき，−２ｓｉｎｎπ／６

→これで符号は定まった．

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［まとめ］

　　（ｎ，０）＋（ｎ，３）＋（ｎ，６）＋・・・

ｎ＝４ｒのとき，（２^n＋２ｃｏｓｎπ／６）／３

ｎ＝４ｒ＋１のとき，（２^n＋２ｓｉｎｎπ／６）／３

ｎ＝４ｒ＋２のとき，（２^n−２ｃｏｓｎπ／６）／３

ｎ＝４ｒ＋３のとき，（２^n−２ｓｉｎπ／６）／３

　この段階で足して２^nになっている．しかし，以下の問題は解消されていない．

［１］ｋ＝１，ｍ＝３のとき，ｎ→ｎ−２に置き換える．

［２］ｋ＝２，ｍ＝３のとき，ｎ→ｎ−４に置き換える．

［１］ｎ＝４ｒのとき，足し合わせてみることにしたい．

ｃｏｓｎπ／６＋ｃｏｓ（ｎ−２）π／６＋ｃｏｓ（ｎ−４）π／６

＝２ｃｏｓ（ｎ−２）π／６ｃｏｓπ／３＋ｃｏｓ（ｎ−２）π／６

＝２ｃｏｓ（ｎ−２）π／６　　（ＮＧ）

［２］ｎ＝４ｒ＋１のとき，足し合わせてみることにしたい．

ｓｉｎｎπ／６＋ｓｉｎ（ｎ−２）π／６＋ｓｉｎ（ｎ−４）π／６

＝２ｓｉｎ（ｎ−２）π／６ｃｏｓπ／３＋ｓｉｎ（ｎ−２）π／６

＝２ｓｉｎ（ｎ−２）π／６　　（ＮＧ）

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