主虹では外側から内側に赤・橙・黄・緑・青・藍・紫の順に見え，その外側に，色の配列が主虹と逆順の副虹がうすく見える．副虹では赤が弧の内側になる．

　主虹（下の方で明るく見える虹）は水滴の中で２回屈折し，１回反射した虹，副虹は２回屈折し，２回反射の虹である．さらに高次（３次，４次，・・・）の虹が現れることもあるが，虹の光自体が弱く，薄くてほとんどみられることはない．主虹と副虹の間が，アレクサンダー暗帯である．デカルト・ニュートンの虹の古典論によると，ここに反射してくる光はまったくない．

　虹では光が空中から水中へ屈折して入り，中で反射して，屈折して空中に出ていく．光の経路にはスネルの法則が関係しているのだが，円（球）の性質も反映している．雨粒を理想化して，球であると考える．その際，水球に入った平行光線の束が，どのように出ていくかを調べると，入射光線と雨滴の中心との距離は様々な値をとるのであるが，出ていくときはある角度に光線が密集して，明るくなることがわかる．

　この光の優先道路は入射角から測って４２°の方向に集約される．数学的には包絡線というのだが，光学分野では焦線（caustic）あるいは火線という名で知られている．水滴の中の光の経路は１本線で書き表されることが多いのであるが，それは焦線であるから，極大値をとる方向ということであって，水滴から出てくる光線は均一に位置しているのではなく，最小偏向角の辺りに集中している．したがって，焦線について正確に説明するためには微積分が必要になってくる．

　　［参］アダム「自然の中の数学」，シュプリンガー・ジャパン

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【１】虹の反射

　フェルマーの最小時間原理より，所要時間Ｔ

　　Ｔ＝（ａ^2＋ｘ^2）^1/2／ｖ1＋（ｂ^2＋（ｃ−ｘ）^2）^1/2／ｖ2

が最小であることを微分を用いて表せば

　　ｄＴ／ｄｘ＝０→ｓｉｎθ1／ｖ1−ｓｉｎθ2／ｖ2＝０

より，スネルの法則

　　ｓｉｎθ1＝ｎｓｉｎθ2，ｎ＝ｖ1／ｖ2（屈折率）

が導かれる．

　ｉ，ｒをそれぞれ入射角，反射角，Ｄ（ｉ）を２回屈折し，１回反射した後の偏向角とすれば，

　　ｓｉｎｉ＝ｎｓｉｎｒ

　　Ｄ（ｉ）＝π＋２ｉ−４ｒ（ｉ）

が成り立つ．

　微分を使って

　　ｄＤ／ｄｉ＝２−４ｄｒ／ｄｉ＝２−４ｃｏｓｉ／（ｎｃｏｓｒ）

したがって，極値を与える偏向角は

　　１／４＝ｃｏｓ^2ｉ／（ｎ^2−１＋ｃｏｓ^2ｉ）

　　ｃｏｓｉ＝（（ｎ^2−１）／３）^1/2

　　Ｄ（ｉ）＝π＋２ｉ−４ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｉ／ｎ）

　ｎ＝４／３（水の屈折率）を代入すると，

　　ｉ＝ａｒｃｃｏｓ√７／２７＝５９．４°

　　Ｄ（ｉ）＝１３８°

その補角１８０°−１３２°＝４２°が観測者を頂点とし，太陽とを結ぶ直線を軸とする虹の円錐の半頂角である．

　これは内部で１回反射したあとの偏向角であったが，内部でｋ回反射した場合は，

　　ｃｏｓｉ＝（（ｎ^2−１）／ｋ（ｋ＋２））^1/2

　　ｄ^2Ｄ／ｄｉ^2＝２（ｋ＋１）（ｎ^2−１）ｔａｎｒ／ｎ^2ｃｏｓ^2ｒ＞０

　　Ｄ（ｉ）＝ｋπ＋２ｉ−２（ｋ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｉ／ｎ）

が成り立つ．

　副虹についてはｋ＝２であるから

　　Ｄ（ｉ）＝２π＋２ｉ−６ｒ＝２ｉ−６ｒ（ｍｏｄ　２π）

　　　　　　＝２ｉ−６ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｉ／ｎ）

　　ｄＤ／ｄｉ＝２−４ｄｒ／ｄｉ＝２−６ｃｏｓｉ／（ｎｃｏｓｒ）

　　１／９＝ｃｏｓ^2ｉ／ｎ^2（１−ｓｉｎ^2ｒ）＝ｃｏｓ^2ｉ／（ｎ^2−ｓｉｎ^2ｉ）

　　ｃｏｓｉ＝（（ｎ^2−１）／８）^1/2

ｎ＝４／３（水の屈折率）を代入すると，

　　ｉ＝ａｒｃｃｏｓ√７／７２＝７１．８°

　　Ｄ（ｉ）＝−１２９°

主虹の補角は１８０°−１３２°＝４２°であったが，副虹では５１°となり，主虹より９°上の空に現れることになる．

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　このことをもっと丁寧に調べることにしよう．水滴の半径を１，屈折率をｎ，入射光線と水滴の中心との距離をａ，反射光線と入射光線の間の角度（虹角）をθとすると，平面幾何学的に，１回反射の虹では

　　θ＝４ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）−２ａｒｃｓｉｎ（ａ）

２回反射の虹では

　　θ＝−４ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）＋２ａｒｃｓｉｎ（ａ）＋π

となることが示される．

　一般に，奇数回反射した場合は

　　θ＝２（ｒ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）−２ａｒｃｓｉｎ（ａ）

偶数回反射した場合は

　　θ＝−２（ｒ＋１）ａｒｃｓｉｎ（ａ／ｎ）＋２ａｒｃｓｉｎ（ａ）＋π

となる．

　散乱角θをａで微分すると

　　ａ＝√（４−ｎ^2）／３　　　（主虹）

　　ａ＝√（９−ｎ^2）／８　　　（副虹）

でθは最大になる．

　ｎ＝４／３とおくと，主虹はａ＝０．８６で最大値４２°，副虹はａ＝０．９５で最大値５１°をとるが，どちらからの散乱光もまったくやってこない領域が主虹と副虹の間で，この領域がアレクサンダー暗帯である．

　さらに丁寧に考察するならば，

　　ｄθ／ｄａ＝２（−３ａ^2−ｎ^2＋４）／√（ｎ^2−ａ^2）√（１−ａ^2２（√（ｎ^2−ａ^2）＋√（１−ａ^2））

より，ｎ＞２の場合にはｄθ／ｄａ＜０より包絡線が存在しないので，主虹は存在しないことも理解される．

　水（屈折率≒４／３）であっても，ガラス（屈折率≒３／２）であっても虹はできるのであるが，反射する球体の屈折率が２以上の場合，たとえばダイヤモンド（屈折率＝２．４２）の場合，虹のできる様子は水滴の場合とはかなり異なってくる．どのような透明体であっても差し支えないわけではなく，水の屈折率が１．３程度であったおかげで，われわれは美しい虹を見ることができるのである．

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【２】虹の散乱

　　Ｄ（ｉ，ｎ）＝π＋２ｉ−４ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｉ／ｎ）

より，

　　∂Ｄ／∂ｎ＝−４∂／∂ｎ｛ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｉ／ｎ）｝

　　　　　　　＝４ｓｉｎｉ／ｎ（ｎ^2−ｓｉｎ^2ｉ）^1/2

　ｄＤ／ｄｉ＝０のとき，ｎ^2−ｓｉｎ^2ｉ＝４ｃｏｓ^2ｉより

　　∂Ｄ／∂ｎ＝２ｔａｎｉ／ｎ＞０

　赤色光の波長と屈折率はλ＝６５６．３，ｎ＝１．３３１８

　紫色光の波長と屈折率はλ＝４０４．７，ｎ＝１．３４３５

より，可視スペクトルの範囲でｎの変化Δｎ＝０．０１２が与えられたときのΔＤは，ｎ＝１．３３，ｉ＝５９．４°とすると

　　ΔＤ＝２Δｎｔａｎｉ／ｎ＝１．７°

であるから，主虹の角度の広がりは約１．７°（満月３個分）と計算される．

　実際，赤色光の半頂角は４２．３°，紫色光の半頂角は４０．６°であるから，主虹ではΔＤ＝１．７°となる．

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【３】虹の波動理論

　前節では水滴の中を通る光線の道筋（光線に関するは幾何光学的理論）を用いれば虹の性質のほとんどを理解することができることを述べたが，エアリ−は，光の波動理論（回折）の考え方に従って過剰虹を説明しようとした．

　エアリーは回折に関する一般的な理論の仮定を用いて，焦線の近傍で光の強度（振幅分布）を計算した．結果だけを述べると，虹の光の振幅は，エアリー関数

　　Ａｉ（ｘ）＝∫(0,∞)ｃｏｓ｛π／２（ｔ^3−ｘｔ）｝ｄｔ

で記述される．光の強度はこの積分関数を２乗したものになる．

　ここで，パラメータｘは

　　ｘ＝（２ｋａ／π）^2/3（ｓｉｎ^3θ／ｃｏｓθ）^1/3

　　ｋ：光の波数，ａ：水滴の半径，θ：虹光線からの角度

であるから，ｘは焦線からの距離と焦線の曲率に依存する定数である．本質的には焦線からの距離を表し，ｘ＝０のときがちょうど焦線のところで，デカルトの幾何光学に対応する．エアリー関数はｘ＞０では指数関数的に減少し，ｘ＜０では正弦関数のように振動する関数である．

　エアリー積分を使えば，光線の干渉によって生じる過剰虹のできる場所や強さを予測することができる．光が最も強くなるのはデカルトの理論よりも少し内側にくることがわかるし，また，三角関数のように繰り返し極大値をとるので，それが過剰虹を与えるというわけである．

　一方，アレクサンダー暗帯でも，光の強度が完全に０というわけではなく，わずかながら光が漏れてくることもわかる．また，水滴が小さくなると焦線の曲率は大きくなって，虹のできる角度もより大きくなる理由も説明される．

　１８３６年，エアリーはこのようにしてアレクサンダー暗帯の存在と過剰虹発生とを説明した．過剰虹がなぜ見えるかという問題に答えるには，幾何光学だけでは定まらず，本質的には光の波動理論を必要としたのである．

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