ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）

が形も簡単で広く用いられています．

　　｛（ｎ^2 −１）／２｝^2＋ｎ^2＝｛（ｎ^2＋１）／２｝^2

　　（ｎ^2−１）^2＋（２ｎ）^2＝（ｎ^2＋１）^2

のように文字を一つだけ使ったのでは，ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが，二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）^2

では全部を表すことができます．逆に，この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります．

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　（１を除く）奇数の平方数を２つの連続した整数の和として表すことによって，ピタゴラスの三つ組みを得ることができる．

　　３^2＝４＋５→（３，４，５）→３^2＋４^2＝５^2

　　５^2＝１２＋１３→（５，１２，１３）→５^2＋１２^2＝１３^2

　　７^2＝２４＋２５→（７，２４，２５）→７^2＋２４^2＝２５^2

　　９^2＝４０＋４１→（９，４０，４１）→９^2＋４０^2＝４１^2

　これは

　　（２ｎ＋１）^2＝４ｎ^2＋４ｎ＋１＝（２ｎ^2＋２ｎ）＋（２ｎ^2＋２ｎ＋１）

　　（２ｎ＋１）^2＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2＝（２ｎ^2＋２ｎ）＋（２ｎ^2＋２ｎ＋１）＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2

＝（２ｎ^2＋２ｎ）^2＋２（２ｎ^2＋２ｎ）＋１

＝（２ｎ^2＋２ｎ＋１）^2

　一方，斜辺以外の辺が連続する整数になる場合は，

　　ｍ^2＋（ｍ＋１）^2＝２ｍ^2＋２ｍ＋１

でもいいかもしれないが，

　　｛（ｍ−１）／２｝^2＋｛（ｍ＋１）／２｝^2＝（ｍ^2＋１）／２

より，（ｍ^2＋１）／２が平方数となるｍを求めればよい．

　この問題と類似の問題は，コラム「ａ^2＋ｂ^2＝２ｃ^2の幾何学的な解釈」でも扱った．

　　ｍ^2＋１^2＝２ｎ^2

　答えは

　　ｍ＝７→（３，４，５）

　　ｍ＝４１→（２０，２１，２９）

　　ｍ＝２３９→（１１９，１２０，１６９），・・・

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