階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（-n）＝√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

　ｎ＝８のとき，

　　８！＝４０３２０

　　４√π（８／ｅ）^8＝３９９０２

で，誤差は１％である（相対誤差はほぼ１／１２ｎである）．

　　ｎ！〜√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n（１＋１／１２ｎ）

　スターリングの近似公式は階乗の一般化であるガンマ関数の近似値としても使われています．

　　Γ（ｘ＋１）＝∫ｅ^-tｔx ｄｔ〜√（２πｘ）ｘ^xｅｘｐ（-x）

近似の程度を進めると

　　Γ（ｘ＋１）〜√（２πｘ）ｘ^xｅ^-x[1+1/(12x)+1/(288x^2)-139/(51840x^3)-.....}

が得られます．これらの公式ではｘが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

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　スターリングは次の等式にも気づいた．

　　ｎ！＝１＋（１−１／１！）・ｎ＋（１−１／１！＋１／２！）・ｎ（ｎ−１）＋（１−１／１！＋１／２！−１／３！）・ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）＋・・・

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　　ｅ^n＞１＋ｘ

　　（ｋ＋１）／ｋ＜ｅ^n＜ｋ／（ｋ−１）

より

　　ｎ^n／ｅ^n-1＜ｎ！＜ｎ^n+1／ｅ^n-1

　一方，

　　　φ^n-2＜Ｆn＜φ^n-1

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