この問題にはあまり関係しないと思うが，多変数対称式も掲げておきたい．

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【１】対称式

　３変数多項式関数ｆ（ａ，ｂ，ｃ）において，３！個の置換

　　ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝ｆ（ｂ，ａ，ｃ）＝ｆ（ａ，ｃ，ｂ）＝ｆ（ｂ，ｃ，ａ）＝ｆ（ｃ，ａ，ｂ）＝ｆ（ｃ，ｂ，ａ）

が成立するとき，対称式であるという．

　レムスの不等式：　三角形の３辺の長さを（ａ，ｂ，ｃ）とするとき，

　　ａｂｃ≧（ａ＋ｂ−ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）（ｃ＋ａ−ｂ）

が成り立つ．等号はａ＝ｂ＝ｃのときに限る．

は，３次対称式

　　ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2−６ａｂｃ≧０

である．対称式を

　　Σｘ，Σｘ^2，Σｘ^3，Σｘｙ，Σｘ^2ｙ，・・・

などで表すことにすると，レムスの不等式は

　　（Σｘ）（Σｘｙ）−９ｘｙｚ≧０

となる．

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【２】巡回式

　　ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝ｆ（ｂ，ｃ，ａ）＝ｆ（ｃ，ａ，ｂ）

が成立するとき，巡回式という．対称式は巡回式であるが，逆は真ならず．

　たとえば，

　　ｆ（ａ，ｂ，ｃ）＝ａ^2ｂ＋ｂ^2ｃ＋ｃ^2ａ

は対称式でない巡回式である．巡回式の場合はａ≧ｂ≧ｃと仮定する方法は使えないことになる．

　巡回式も

　　Σｘ，Σｘ^2，Σｘ^3，Σｘｙ，Σｘ^2ｙ，・・・

などで表すことにすると，対称式と区別するためには

　　Σ(3)ｘ^2ｙ＝ａ^2ｂ＋ｂ^2ｃ＋ｃ^2ａ

　　Σ(6)ｘ^2ｙ＝ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2

あるいは

　　Ｓ（２，１，０）＝Ｓ2,1＝ａ^2ｂ＋ｂ^2ｃ＋ｃ^2ａ

　　Ｔ（２，１，０）＝Ｔ2,1＝ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2

　　Ｕ（１，１，１）＝Ｕ＝ａｂｃ

という記号を用いる．

　　Ｔ2,1＝ａ^2ｂ＋ａｂ^2＋ｂ^2ｃ＋ｂｃ^2＋ｃ^2ａ＋ｃａ^2

　＝ａｂ（ａ＋ｂ）＋ｂｃ（ｂ＋ｃ）＋ｃａ（ｃ＋ａ）

　＝ａ^2（ｂ＋ｃ）＋ｂｰ2（ｃ＋ａ）＋ｃ^2（ａ＋ｂ）

　＝（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）−２ａｂｃ

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