【１】エピサイクロイドの次数

　一方，ｎ尖点エピサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

の場合は，

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−２（ｎ＋１）ｃｏｓｎθ＋（ｎ＋１）^2＋１

［１］ｎ＝１

　　ｘ＝２ｃｏｓθ−ｃｏｓ２θ

　　ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−４ｃｏｓθ＋５

　　Ｄ1：ｘ＝２ｃｏｓθ−ｃｏｓ２θ＝−２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ＋１

よりｃｏｓθを消去すると，

　　（ｘ^2＋ｙ^2−３）^2＋８ｘ−１２＝０

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［２］ｎ＝２

　　ｘ＝３ｃｏｓθ−ｃｏｓ３θ＝−４ｃｏｓ^3θ＋６ｃｏｓθ

　　ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ＝４ｓｉｎ^3θ

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−６ｃｏｓ２θ＋１０＝−１２ｃｏｓ^2θ＋１６

　　Ｄ2：ｘ^2＝４ｃｏｓ^2θ（３−２ｃｏｓ^2θ）^2

よりｃｏｓθを消去すると，

　　（ｘ^2＋ｙ^2−４）^3−１０８ｙ^2＝０

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［３］ｎ＝３

　　ｘ＝４ｃｏｓθ−ｃｏｓ４θ＝−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ−１

　　ｙ＝４ｓｉｎθ−ｓｉｎ４θ＝−４ｓｉｎθ（２ｃｏｓ^3θ−ｃｏｓθ−１）

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−８ｃｏｓ３θ＋１７＝−３２ｃｏｓ^3θ＋２４ｃｏｓθ＋１７

　　Ｄ3：ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝（−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ−１）｛（−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ＋４ｃｏｓθ−１）^2−４８（１−ｃｏｓ^2θ）（２ｃｏｓ^3θ−ｃｏｓθ−１）^2｝

あるいは

　　ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝ｘ（−３（ｘ^2＋ｙ^2）＋４ｘ^2）

　デルトイド，アステロイドのように

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^4＋ｂｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｃ＝０

とうまい具合に表せるとは限らないので，

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^4＋ａ（ｘ^2＋ｙ^2）^3＋ｂ（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋ｃ（ｘ^2＋ｙ^2）＋ｄｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｅ＝０

と仮定します．

　　ｃｏｓθ＝１　→　ｘ^2＋ｙ^2＝９，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝２７

　　ｃｏｓθ＝−１　→　ｘ^2＋ｙ^2＝２５，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝−１２５

　　ｃｏｓθ＝０　→　ｘ^2＋ｙ^2＝１７，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝４７

　　ｃｏｓθ＝１／２　→　ｘ^2＋ｙ^2＝２５，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝−１２５

　　ｃｏｓθ＝−１／２　→　ｘ^2＋ｙ^2＝９，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝２７

　これで整数点，有理点が３つ得られました．どうしても整数点，有理点にこだわりたいならばｃｏｓθ＝１／３，１／４，・・・とおくか，

　　ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

　　ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

と表せばよいのですが，非有理点でもかまわなければ，

　　ｃｏｓθ＝１／√２　→　ｘ^2＋ｙ^2＝１７＋４√２，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝１−２６√２

　　ｃｏｓθ＝−１／√２　→　ｘ^2＋ｙ^2＝１７−４√２，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝１＋２６√２

を用いることもできます．

　（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））＝（９，２７），（２５，−１２５），（１７，４７），（１７＋４√２，１−２６√２），（１７−４√２，１＋２６√２）を利用した未定係数法により

　　ａ＝−２０，ｂ＝−１０，ｃ＝−１８０，ｄ＝５１２，ｅ＝−３３７５

が求められました．未定係数法の計算は畏友・阪本ひろむ氏にお願いしました．すなわち，ｎ＝３は８次曲線：

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^4−２０（ｘ^2＋ｙ^2）^3−１０（ｘ^2＋ｙ^2）^2−１８０（ｘ^2＋ｙ^2）＋５１２（ｘ^3−３ｘｙ^2）−３３７５＝０

となります．

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［４］ｎ＝４

　　ｘ＝５ｃｏｓθ−ｃｏｓ５θ＝−１６ｃｏｓ^5θ＋２０ｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝５ｓｉｎθ−ｓｉｎ５θ＝−１６ｓｉｎ^5＋２０ｓｉｎ^3θ

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝−１０ｃｏｓ４θ＋２６＝−８０ｃｏｓ^4θ＋８０ｃｏｓ^2θ＋１６＝８０ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋１６

　　Ｄ4：ｘ^2ｙ^2＝１６ｃｏｓ^6θ（４ｃｏｓ^2θ−５）^2・１６ｓｉｎ^6θ（４ｓｉｎ^2θ−５）^2＝１６^2ｃｏｓ^6θｓｉｎ^6θ（１６ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋５）^2

ｃｏｓθを消去すると，１０次式

　　（ｘ^2＋ｙ^2−１６）^3（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2−５００００ｘ^2ｙ^2＝０

が得られます．

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