【１】ハイポサイクロイドの次数

　ｎ尖点ハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ

において，

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝２（ｎ−１）ｃｏｓｎθ＋（ｎ−１）^2＋１

とします．Ｄ0はｃｏｓθのｎ次式で表されることになります．

［１］ｎ＝２

　　ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝０

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝２ｃｏｓ２θ＋２＝４ｃｏｓ^2θ

　　Ｄ2：ｘ^2＝４ｃｏｓ^2θ

よりｃｏｓθを消去すると，ｙ＝０

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［２］ｎ＝３

　　ｘ＝２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ＝２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１

　　ｙ＝２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝４ｃｏｓ３θ＋５＝１６ｃｏｓ^3θ−１２ｃｏｓθ＋５

　　Ｄ3：ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝（２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１）｛（２ｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓθ−１）^2−１２（１−ｃｏｓ^2θ）（１−ｃｏｓθ）^2｝

あるいは

　　ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＝ｘ（−３（ｘ^2＋ｙ^2）＋４ｘ^2）

として，Ｄ3を求めます．

　Ｄ0はｃｏｓθの３次式，Ｄ3は６次式となりますから，代数曲線を６次

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^2＋ｂｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｃ＝０

と仮定して，未定係数法で係数ａ，ｂ，ｃを求めてみることにします．すると

　　ｃｏｓθ＝１　　→　（９＋ａ）^2＋２７ｂ＋ｃ＝０

　　ｃｏｓθ＝０　　→　（５＋ａ）^2＋１１ｂ＋ｃ＝０

　　ｃｏｓθ＝−１　→　（１＋ａ）^2−ｂ＋ｃ＝０

より，ａ＝９，ｂ＝−８，ｃ＝−１０８となって

　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2＋８ｘ（３ｙ^2−ｘ^2）−１０８＝０

が得られます．

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［３］ｎ＝４

　　ｘ＝３ｃｏｓθ＋ｃｏｓ３θ＝４ｃｏｓ^3θ

　　ｙ＝３ｓｉｎθ−ｓｉｎ３θ＝４ｓｉｎ^3θ

これより直ちにｘ^2/3＋ｙ2/3＝４^2/3は求められるのですが，ここではＤ0，Ｄ4を用いることにします．

　　Ｄ0：ｘ^2＋ｙ^2＝６ｃｏｓ４θ＋１０＝４８ｃｏｓ^4θ−４８ｃｏｓ^2θ＋１６＝−４８ｃｏｓ^2θｓｉｎ^2θ＋１６

　　Ｄ4：ｘ^2ｙ^2＝１６^2ｃｏｓ^6θｓｉｎ^6θ

ｃｏｓθを消去すると

　　（ｘ^2＋ｙ^2−１６）^3＋４３２ｘ^2ｙ^2＝０

　デルトイド同様，代数曲線を

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ａ）^3＋ｂｘ^2ｙ^2＋ｃ＝０

と仮定すると，

　　ｃｏｓθ＝１　　　　→　（１６＋ａ）^3＋ｃ＝０

　　ｃｏｓθ＝１／√２　→　（４＋ａ）^3＋４ｂ＋ｃ＝０

　　ｃｏｓθ＝１／２　　→　（７＋ａ）^3＋２７／１６ｂ＋ｃ＝０

より，ａ＝−１６，ｂ＝４３２，ｃ＝０はこの条件を満足させることがわかります．しかし，デルトイドの場合とは異なり，仮定式のように表せる保証はまったくありません．

　　ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3＋ａ（ｘ^2＋ｙ^2）^2＋ｂ（ｘ^2＋ｙ^2）＋ｃｘ（ｘ^2−３ｙ^2）＋ｄ＝０

と仮定すべきところでしょう．

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