アステロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−４）^3＋１０８ｘ^2ｙ^2＝０

カージオイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−２ｘ）^2−４（ｘ^2＋ｙ^2）＝０

ネフロイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2−４）^3−１０８ｘ^2＝０

デルトイド：ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ^2＋ｙ^2＋９）^2＋８ｘ（３ｙ^2−ｘ^2）−１０８＝０

などの方程式は，それぞれの代数曲線の対称性を表現していると考えられます．

　たとえば，カージオイドとデルトイドでは多項式にｘ項が含まれているため，ｙ軸に関して対称ではありません．

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【１】対称多項式の拡張（Ｃn）

ここでは群Ｃn，原点を中心として２π／ｎの整数倍の回転で変わらない多項式を考えてみます．

　ｘ＝ｒｃｏｓφ，ｙ＝ｒｓｉｎφ，θ＝２π／ｎ，ｋ＝０〜ｎ−１とおくと

　　［Ｘ］＝［ｃｏｓｋθ，−ｓｉｎｋθ］［ｘ］＝［ｒｃｏｓ（ｋθ＋φ）］

　　［Ｙ］　［ｓｉｎｋθ，　ｃｏｓｋθ］［ｙ］　［ｒｓｉｎ（ｋθ＋φ）］

　　ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）

のとき，

　　Ｘ^2＋Ｙ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝ｒ^2

は不変量のひとつとなりますが，ｎに依存する不変量

　　ｒ^nｃｏｓｎφ，ｒ^nｓｉｎｎφ

もθの整数倍回転で不変です．

ｎ＝１のとき

　　ｒｃｏｓφ＝ｘ

　　ｒｓｉｎφ＝ｙ

ｎ＝２のとき

　　ｒ^2ｃｏｓ２φ＝ｒ^2（ｃｏｓ^2φ−ｓｉｎ^2φ）＝ｘ^2−ｙ^2

　　ｒ^2ｓｉｎ２φ＝２ｃｏｓφｓｉｎφ＝２ｘｙ

ｎ＝３のとき

　　ｒ^3ｃｏｓ３φ＝ｒ^3（ｃｏｓ２φｃｏｓφ−ｓｉｎ２φｓｉｎφ）＝（ｘ^2−ｙ^2）ｘ−（２ｘｙ）ｙ＝ｘ^3−３ｘｙ^2

　　ｒ^3ｓｉｎ３φ＝ｒ^3（ｓｉｎ２φｃｏｓφ＋ｃｏｓ２φｓｉｎφ）＝（２ｘｙ）ｘ＋（ｘ^2−ｙ^2）ｙ＝３ｘ^2ｙ−ｙ^3

ｎ＝４のとき

　　ｒ^4ｃｏｓ４φ＝ｒ^4（ｃｏｓ３φｃｏｓφ−ｓｉｎ３φｓｉｎφ）

　＝（ｘ^3−３ｘｙ^2）ｘ−（３ｘ^2ｙ−ｙ^3）ｙ＝ｘ^4−６ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4　　ｒ^4ｓｉｎ４φ＝ｒ^4（ｓｉｎ３φｃｏｓφ＋ｃｏｓ３φｓｉｎφ）

＝（３ｘ^2ｙ−ｙ^3）ｘ＋（ｘ^3−３ｘｙ^2）ｙ＝４ｘ^3ｙ−４ｘｙ^3

　複素数を使うと証明は簡単になります．証明は略しますが，

　　（ｘ＋ｙｉ）^n＝ｒ^n（ｃｏｓφ＋ｉｓｉｎφ）^n＝ｒ^nｃｏｓｎφ＋ｉｒ^nｓｉｎｎφ

となって，ｒ^nｃｏｓｎφ，ｒ^nｓｉｎｎφはそれぞれ（ｘ＋ｙｉ）^nの実部と虚部であることはおわかり頂けるでしょう．

　ともあれ，群Ｃnで不変な多項式はすべてｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ，ｒ^nｓｉｎｎφの多項式となるのです．

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【２】対称多項式の拡張（Ｄn）

　次に，群Ｄnに関して不変な多項式を考えます．群Ｄnは群Ｃnに裏返しを加えたもので，このとき，ｘ軸に関する裏返しという制約をつけても一般性は失われません．ｘ軸に関する裏返しでは，φ→−φより

　　ｒ^2→ｒ^2，

　　ｒ^nｃｏｓｎφ→ｒ^nｃｏｓｎφ，

　　ｒ^nｓｉｎｎφ→−ｒ^nｓｉｎｎφ

　したがって，ｒ^nｓｉｎｎφは偶数乗の形でしか現れませんから，

　　Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ，（ｒ^nｓｉｎｎφ）^2）

　＝Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ，（ｒ^2）^n−（ｒ^nｃｏｓｎφ）^2）

　＝Ｆ（ｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφ）

より，群Ｄnで不変な多項式はすべてｒ^2，ｒ^nｃｏｓｎφの多項式となるのです．

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【３】トロコイドへの応用

　アステロイドはＤ4，カージオイドはＤ1，ネフロイドはＤ2，デルトイドはＤ3の対称性を有する代数曲線ですから，ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2，ｒ^nｃｏｓｎφの多項式になります．

　ｒ^nｃｏｓｎφはそれぞれ，

　　ｘ^4−６ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4＝（ｘ^2＋ｙ^2）^2−１０ｘ^2ｙ^2

　　ｘ

　　ｘ^2−ｙ^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）−２ｙ^2＝−（ｘ^2＋ｙ^2）＋２ｘ^2

　　ｘ^3−３ｘｙ^2＝ｘ（ｘ^2−３ｙ^2）

よりＦ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2ｙ^2），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ^2），Ｆ（ｘ^2＋ｙ^2，ｘ（ｘ^2−３ｙ^2））で表されることがわかります．

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